Dada a função exponencial f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=10^{x}, faça o que se pede:
Calcule, sem a utilização de calculadora, o valor de S=f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3).

Passo 1

O enunciado dá a função exponencial \,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=10^{x}
e pede a soma
S = f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3).
Para resolver sem calculadora, vamos reconhecer que esses termos formam uma progressão geométrica (PG) e usar a fórmula da soma de PG.

Passo 2

Escrevendo os valores de cada termo, temos
f(-3)=10^{-3},\;f(-2)=10^{-2},\;f(-1)=10^{-1},\;f(0)=10^{0},\;f(1)=10^{1},\;f(2)=10^{2},\;f(3)=10^{3}.
Isso é uma PG de primeiro termo a_{1}=10^{-3}, razão r=10 e número de termos n=7.

Passo 3

A soma de uma PG finita é dada por
S = a_{1}\,\frac{r^{n}-1}{r-1}.
Substituindo a_{1}=10^{-3}, r=10 e n=7, vem
S = 10^{-3}\,\frac{10^{7}-1}{10-1} = 10^{-3}\,\frac{10^{7}-1}{9}.

Passo 4

Agora simplificamos:
10^{-3}\cdot 10^{7}=10^{4},
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S = \frac{10^{4}-10^{-3}}{9} = \frac{10000 - 0{,}001}{9} = \frac{9999{,}999}{9}.

Passo 5

Basta então dividir 9999{,}999 por 9:
\frac{9999{,}999}{9}=1111{,}111.

Resposta

S = 1111{,}111.

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