Dada a função f abaixo defina as funções h(x)=f\left(x^{2}\right), g(x)=[f(x)]^{2} e w(x)= (f \circ f)(x). Em seguida determine o domínio de h, g e w.
f(x)=\frac{2}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2}{x-1}
e pede para definirmos as três funções
h(x)=f\bigl(x^{2}\bigr),\quad g(x)=\bigl[f(x)\bigr]^{2},\quad w(x)=(f\circ f)(x)
e, depois, determinar o domínio de cada uma. Para isso vamos usar a definição de composição e de função composta, o cálculo de domínio evitando zeros de denominador, e a regra de potência para funções.

Passo 2

Definimos
h(x)=f\bigl(x^{2}\bigr)=\frac{2}{\,x^{2}-1\,}.
O único problema de domínio vem de não podermos ter denominador zero, ou seja:
x^{2}-1\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq 1\quad\Longrightarrow\quad x\neq \pm 1.
Logo o domínio de h é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \pm1\}.

Passo 3

Definimos
g(x)=\bigl[f(x)\bigr]^{2}=\left(\frac{2}{x-1}\right)^{2}=\frac{4}{(x-1)^{2}}.
Aqui também evitamos denominador zero, ou seja:
(x-1)^{2}\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 1.
Logo o domínio de g é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}.

Passo 4

Para
w(x)=(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)
primeiro notamos que f(x) só vale quando x\neq1. Depois escrevemos
f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{2}{\,f(x)-1\,}=\frac{2}{\frac{2}{x-1}-1}.
No denominador fazemos a subtração num único quociente:
\frac{2}{x-1}-1=\frac{2-(x-1)}{x-1}=\frac{3-x}{x-1}.
Portanto
w(x)=\frac{2}{\dfrac{3-x}{x-1}}=\frac{2\,(x-1)}{3-x}=-\frac{2\,(x-1)}{x-3}.
Para o domínio de w exigimos duas coisas:
  1. x\neq1 para f(x) existir;
  2. f(x)\neq1, ou seja \frac{2}{x-1}\neq1, o que dá x\neq3.
    Logo o domínio de w é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1,\,x\neq3\}.

Resposta

Domínio de h: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \pm1\}
Domínio de g: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\}
Domínio de w: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1,\,x\neq3\}

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