Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=|\lfloor x\rfloor|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\bigl|\lfloor x\rfloor\bigr|
Aqui vamos usar duas ideias: a função piso \lfloor x\rfloor, que é constante por trechos de comprimento 1, e a função valor absoluto, que transforma valores negativos em positivos.

Passo 2

Lembrando a definição da função piso: para todo x\in\mathbb{R}, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro k tal que k\le x. Logo, em cada intervalo
[k,k+1)\quad(k\in\mathbb{Z}),
temos
\lfloor x\rfloor = k.
Aplicando o valor absoluto, obtemos
f(x)=\bigl|\lfloor x\rfloor\bigr| = |k|\quad\text{para }x\in[k,k+1).

Passo 3

Isso significa que o gráfico de f é uma sucessão de segmentos horizontais:
  • Se k\ge0, em [k,k+1) temos f(x)=k.
  • Se k<0, em [k,k+1) temos f(x)=-\,k.
Por exemplo:
\begin{aligned} x\in[0,1)&\implies f(x)=|0|=0,\\\ x\in[1,2)&\implies f(x)=|1|=1,\\\ x\in[2,3)&\implies f(x)=|2|=2, \end{aligned} \quad \begin{aligned} x\in[-1,0)&\implies f(x)=|-1|=1,\\\ x\in[-2,-1)&\implies f(x)=|-2|=2,\\\ x\in[-3,-2)&\implies f(x)=|-3|=3. \end{aligned}

Passo 4

Nos pontos inteiros x=k há um salto porque o segmento anterior em [k-1,k) está aberto em k (valor |k-1|) e o novo segmento em [k,k+1) está fechado em k (valor |k|). Portanto:
  • Cada segmento horizontal vale |k| e cobre [k,k+1).
  • Em x=k colocamos um ponto cheio em \bigl(k,|k|\bigr) e um ponto aberto em \bigl(k,|k-1|\bigr).

Resposta

O gráfico de f(x)=|\lfloor x\rfloor| é um “degrau” simétrico em torno de x=0, com:
  • Segmentos horizontais em altura 0,1,2,3,\dots para x\in[0,1),[1,2),[2,3),\dots, e
  • Segmentos horizontais em altura 1,2,3,\dots para x\in[-1,0),[-2,-1),[-3,-2),\dots,
    sempre com ponto fechado no início de cada intervalo e ponto aberto no final.

Exercícios relacionados