Esboce os gráficos das funções abaixo:
g(x)=x-\lfloor x\rfloor

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
g(x)=x-\lfloor x\rfloor.
Aqui o conteúdo é a função parte fracionária, que usa a função piso \lfloor x\rfloor. Vamos revisar como \lfloor x\rfloor se comporta e então ver como isso gera um “dente de serra” periódico de período 1.

Passo 2

Lembrando a definição da função piso: para cada real x, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x. Por exemplo,
\lfloor 2,3\rfloor = 2,\quad \lfloor -0,7\rfloor = -1,\quad \lfloor 5\rfloor = 5.

Passo 3

Para entender g(x)=x-\lfloor x\rfloor, note que se n é um número inteiro e x está em
n \le x < n+1,
então \lfloor x\rfloor = n. Logo, em cada intervalo [n,n+1) temos a expressão simples
g(x)=x-n.
Isto é um segmento de reta de inclinação 1 que começa em g(n)=n-n=0 e cresce até, mas sem atingir, g(n+1^-)=1.

Passo 4

Observações importantes:
  1. Em cada ponto inteiro x=n, g(n)=0.
  2. Ao aproximar-se de n+1 pela esquerda, g(x)\to1, mas g(n+1)=0 pula para zero de novo (há uma descontinuidade de salto).
  3. A função repete exatamente esse padrão em todo real, então é periódica de período 1.
  4. O contradomínio (ou imagem) é [0,1).

Passo 5

Para esboçar na prática:
- No intervalo [0,1) trace uma reta de inclinação 1 ligando o ponto (0,0) (incluso) até quase (1,1) (círculo aberto em (1,1)).
- Em (1,1) coloque um círculo aberto e em (1,0) um ponto fechado.
- Repita o mesmo em [1,2), desenhando a reta de (1,0) a (2,1) (aberto), ponto fechado em (2,0), e assim por diante para os inteiros positivos e negativos.

Resposta

O gráfico de g(x)=x-\lfloor x\rfloor é um dente de serra periódico de período 1, formado por segmentos de reta de inclinação 1 em cada intervalo [n,n+1), com valor variando de 0 (no início do intervalo, ponto fechado) até 1 (no fim, ponto aberto), repetindo-se para todo n\in\mathbb{Z}.

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