Sabe-se que uma função f satisfaz
\frac{f(x)-3}{f(x)+3}=x
Determine f e o domínio de f.

Passo 1

O enunciado dá a relação\r
\frac{f(x)-3}{f(x)+3}=x\r
e pede para determinar a expressão de f(x) e seu domínio. Vamos usar manipulação algébrica para isolar f(x) e depois analisar as restrições impostas pelos denominadores.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por f(x)+3 para eliminar o denominador:\r
f(x)-3 = x\bigl(f(x)+3\bigr).\r
Em seguida, distribuímos no lado direito:\r
f(x)-3 = x\,f(x) + 3x.

Passo 3

Reagrupamos os termos que contêm f(x) de um lado e os demais do outro:\r
f(x) - x\,f(x) = 3 + 3x.\r
Fatorando f(x) no lado esquerdo:
f(x)\bigl(1 - x\bigr) = 3\bigl(1 + x\bigr).\r
Finalmente, isolamos f(x):
f(x) = \frac{3\bigl(1 + x\bigr)}{1 - x}.

Passo 4

Agora, determinamos o domínio de f. Há duas restrições:\r
  1. Na expressão original, f(x)+3\neq0 para o denominador da fração. \r
  2. Na forma final, 1 - x\neq0 para não zerar o denominador. \r
    \r
    Da forma final temos x\neq1. Para verificar se existe algum x\neq1 que torne f(x)=-3, resolvemos\r
\frac{3(1+x)}{1-x} = -3.\r
Dividindo ambos os lados por 3 e simplificando, chega-se a uma contradição, mostrando que f(x) nunca vale -3 quando x\neq1. Portanto, a única restrição no domínio é\r x \neq 1.

Resposta

A função é \r
f(x) = \frac{3(1 + x)}{1 - x},\r
e o domínio é \r
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x \neq 1\}.

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