• Dada uma função f contínua em um intervalo [a, b]. Se E_{T}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{T} (sendo I_{T} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra dos Trapézios) e E_{S}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{S} (sendo I_{S} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra de Simpson). Então, certamente, \left|E_{S}\right|<\left|E_{T}\right|.

Passo 1

O enunciado compara os erros da regra dos trapézios e da regra de Simpson para uma função f apenas contínua em [a,b]. Definimos
E_{T} = \int_a^b f(x)\,dx - I_{T}, \qquad E_{S} = \int_a^b f(x)\,dx - I_{S},
e a afirmação é que “certamente” \lvert E_{S}\rvert < \lvert E_{T}\rvert. Vamos ver por que isso não vale em geral.

Passo 2

Para comparar erros de fórmula de Newton–Cotes usamos as fórmulas de erro sob hipóteses de derivabilidade:
– Se f\in C^2([a,b]), existe \xi\in(a,b) tal que, para o passo h=(b-a)/n,
E_T = -\,\frac{(b-a)}{12}\,h^2\,f''(\xi).
– Se f\in C^4([a,b]), existe \eta\in(a,b) tal que
E_S = -\,\frac{(b-a)}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\eta).
Repare que essas fórmulas nem sequer estão garantidas se f for apenas contínua.

Passo 3

Mesmo quando f for suave, a desigualdade estrita \lvert E_S\rvert<\lvert E_T\rvert pode falhar. Considere o polinômio cúbico
f(x)=x^3
no intervalo [0,1]. Então
\int_0^1 x^3\,dx = \frac14.
A regra dos trapézios com um só subintervalo dá
I_T = \frac{f(0)+f(1)}2\,(1-0) = \frac{0+1}2 = \frac12,
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E_T = \frac14 - \frac12 = -\frac14.
A regra de Simpson com um só painel usa
I_S = \frac{1}{6}\bigl(f(0)+4f(0{,}5)+f(1)\bigr) = \frac{1}{6}(0+4\cdot0{,}5^3+1) = \frac{1}{6}(0+4\cdot\tfrac18+1) = \frac{1}{6}\cdot\frac32 = \frac14,
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E_S = \frac14 - \frac14 = 0.
Aqui \lvert E_S\rvert=0 e \lvert E_T\rvert=\tfrac14, o que dá \lvert E_S\rvert<\lvert E_T\rvert, mas para outro polinômio de grau <=1 (por ex. f(x)=x) ambos os erros são zero, então \lvert E_S\rvert=\lvert E_T\rvert. Ou seja, nem sempre há desigualdade estrita.

Passo 4

Além disso, se f for apenas contínua e não admiti pelas derivadas necessárias, sequer se pode usar essas fórmulas de erro para comparar \lvert E_S\rvert e \lvert E_T\rvert. Portanto, não se pode afirmar “certamente” que \lvert E_S\rvert<\lvert E_T\rvert para toda função contínua em [a,b].

Resposta

A afirmação é falsa.

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