- Dada uma função
contínua em um intervalo
. Se
(sendo
a aproximação de
dada pela regra dos Trapézios) e
(sendo
a aproximação de
dada pela regra de Simpson). Então, certamente,
.
Passo 1
O enunciado compara os erros da regra dos trapézios e da regra de Simpson para uma função
apenas contínua em
. Definimos
e a afirmação é que “certamente”
. Vamos ver por que isso não vale em geral.
Passo 2
Para comparar erros de fórmula de Newton–Cotes usamos as fórmulas de erro sob hipóteses de derivabilidade:
– Se , existe
tal que, para o passo
,
– Se
– Se
, existe
tal que
Repare que essas fórmulas nem sequer estão garantidas se
for apenas contínua.
Passo 3
Mesmo quando
for suave, a desigualdade estrita
pode falhar. Considere o polinômio cúbico
no intervalo
. Então
A regra dos trapézios com um só subintervalo dá
logo
A regra de Simpson com um só painel usa
logo
Aqui
e
, o que dá
, mas para outro polinômio de grau
(por ex.
) ambos os erros são zero, então
. Ou seja, nem sempre há desigualdade estrita.
Passo 4
Além disso, se
for apenas contínua e não admiti pelas derivadas necessárias, sequer se pode usar essas fórmulas de erro para comparar
e
. Portanto, não se pode afirmar “certamente” que
para toda função contínua em
.
Resposta
A afirmação é falsa.