Use o método de Euler com h=0,46 para determinar um valor aproximado para y(2,2+3 \times 0,46), onde y(x) é a solução exata do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} x^{2} \frac{d y}{d x}+3 e^{x} y=0 \\\ y(2,2)=-2,2 \end{array}\right.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado define o PVI
\begin{cases} x^{2}\,\dfrac{dy}{dx}+3e^{x}y=0,\\\ y(2,2)=-2,2, \end{cases}
e pede uma aproximação de y\bigl(2,2+3\cdot0,46\bigr)=y(3,58) usando o método de Euler explícito com passo h=0,46.

Passo 2

Primeiro isolamos a derivada para escrever o método de Euler:
x^{2}\,\frac{dy}{dx} +3e^{x}y=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx}=f(x,y)=-\frac{3e^{x}}{x^{2}}\,y.
No método de Euler temos
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}), \quad x_{n+1}=x_{n}+h.

Passo 3

Passo 1 de Euler n=0:
x_{0}=2,2,\quad y_{0}=-2,2.
Calculemos
f(x_{0},y_{0}) =-\frac{3e^{2,2}}{(2,2)^{2}}\;y_{0} =-\frac{3e^{2,2}}{4,84}\,(-2,2) =\frac{3e^{2,2}}{2,2} \approx\frac{3\cdot9,025}{2,2}\approx12,31.
Então
y_{1} =y_{0}+0,46\cdot12,31 =-2,2+5,66 \approx3,46,
x_{1}=2,2+0,46=2,66.

Passo 4

Passo 2 de Euler n=1:
x_{1}=2,66,\quad y_{1}\approx3,46.
Calculemos
f(x_{1},y_{1}) =-\frac{3e^{2,66}}{(2,66)^{2}}\,y_{1} \approx-\frac{3\cdot14,295}{7,0756}\cdot3,46 \approx-20,97.
Logo
y_{2} =3,46+0,46\cdot(-20,97) \approx3,46-9,65 \approx-6,19,
x_{2}=2,66+0,46=3,12.

Passo 5

Passo 3 de Euler n=2:
x_{2}=3,12,\quad y_{2}\approx-6,19.
Calculemos
f(x_{2},y_{2}) =-\frac{3e^{3,12}}{(3,12)^{2}}\,y_{2} \approx-\frac{3\cdot22,64}{9,7344}\,(-6,19) \approx43,16.
Portanto
y_{3} =y_{2}+0,46\cdot43,16 \approx-6,19+19,85 \approx13,66,
x_{3}=3,12+0,46=3,58.

Resposta

A aproximação pelo método de Euler para y(3,58) é aproximadamente 13,66.

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