Questão 2 - Em determinada cidade, estableleceu-se o modelo populacional em milhões de habitantes, através da equaçio diferencial:
\frac{d N}{d t}=N \cdot\left(t e^{t+2}-1\right)
que mede a taxa de variação populacional. Desse modo, sabendo que no momento inicial do estudo a população era de ! milhão de habitantes (N(0)=1 ). Determine quantos habitantes haverá nessa cidade após uma década. (1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá o modelo populacional em milhões de habitantes pela equação diferencial
\frac{dN}{dt}=N\bigl(te^{t+2}-1\bigr),
com condição inicial N(0)=1. O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial separável e, em seguida, calcular N(10).

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo por N e multiplicando por dt:
\frac{dN}{N}=\bigl(te^{t+2}-1\bigr)\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo vem
\int\frac{dN}{N}=\ln N,
e no direito
\int\bigl(te^{t+2}-1\bigr)\,dt =\int te^{t+2}\,dt-\int1\,dt.
Usando integração por partes em \int te^{t+2}dt, obtemos
\int te^{t+2}dt =e^{t+2}(t-1)+K,
e \int1\,dt=t. Logo
\ln N=e^{t+2}(t-1)-t+C.

Passo 4

Aplicamos N(0)=1, ou seja \ln1=0, em
0=e^{0+2}(0-1)-0+C=-e^2+C,
de onde C=e^2.

Passo 5

Substituindo C em \ln N, achamos a solução geral
\ln N=e^{t+2}(t-1)-t+e^2 \quad\Longrightarrow\quad N(t)=\exp\bigl(e^{t+2}(t-1)-t+e^2\bigr).

Passo 6

Para t=10 (uma década),
N(10)=\exp\bigl(e^{12}\cdot9-10+e^2\bigr) =\exp\bigl(9e^{12}-10+e^2\bigr)
milhões de habitantes.

Resposta

N(10)=\exp\bigl(9e^{12}-10+e^2\bigr)
milhões de habitantes.

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