Questão 2 - Em determinada cidade, estableleceu-se o modelo populacional em milhões de habitantes, através da equaçio diferencial:
que mede a taxa de variação populacional. Desse modo, sabendo que no momento inicial do estudo a população era de ! milhão de habitantes
). Determine quantos habitantes haverá nessa cidade após uma década. (1.0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá o modelo populacional em milhões de habitantes pela equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial separável e, em seguida, calcular
.
Passo 2
Separamos as variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Passo 3
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo vem
e no direito
Usando integração por partes em
, obtemos
e
. Logo
Passo 4
Aplicamos
, ou seja
, em
de onde
.
Passo 5
Substituindo
em
, achamos a solução geral
Passo 6
Para
(uma década),
milhões de habitantes.
Resposta
milhões de habitantes.