Guestão 3 . Dada a equação diferencial ordinária:
(2 \sqrt{x y}-y) d x-x d y=0
determines sua solução.(2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2\sqrt{x y}-y)\,dx - x\,dy = 0
e pede sua solução geral. Trata-se de uma EDO de primeira ordem que, não sendo imediata separável nem exata, pode ficar mais simples se introduzirmos uma variável nova via v=\sqrt{y}.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
(2\sqrt{x y}-y)\,dx = x\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x y}-y}{x} = 2\,\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} - \frac{y}{x}.

Passo 3

Fazemos a substituição
v = \sqrt{y},
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y = v^2 \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx} = 2\,v\,\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituindo em \dfrac{dy}{dx}:
2v\,\frac{dv}{dx} = 2\,\frac{v}{\sqrt{x}} - \frac{v^2}{x}.
Dividindo ambos os lados por 2v (supondo v\neq0):
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{v}{2x}.
Isso é uma equação linear em v.

Passo 5

Colocando no formato padrão
\frac{dv}{dx} + \frac{1}{2x}\,v = \frac{1}{\sqrt{x}},
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\!\int\frac{1}{2x}dx\Bigr)=\sqrt{x}.
Multiplicando por \sqrt{x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\,v\bigr)=1 \;\Longrightarrow\; \sqrt{x}\,v = x + C.

Passo 6

Voltando a v=\sqrt{y}, temos
\sqrt{x}\,\sqrt{y} = x + C \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{xy} = x + C.
Elevando ao quadrado (se quiser solução explícita):
xy = (x + C)^2.

Resposta

\sqrt{xy}=x+C,
ou equivalentemente
xy=(x+C)^2,
com C constante arbitrária.

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