Dada uma função f: A longrightarrow B, podemos definir uma relação em A da seguinte forma:
x R y se, e somente se, f(x)=f(y)
Mostre que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma relação R definida por x R y se, e somente se, f(x) = f(y) é uma relação de equivalência. Isso está dentro do conteúdo de Teoria das Relações e vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, simetria e transitividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Para que uma relação seja de equivalência, ela precisa satisfazer três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação R .

Passo 3

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer x in A , precisamos mostrar que x R x .
Como f(x) = f(x) (é claro que qualquer coisa é igual a si mesma), então x R x é verdadeiro para todo x . Portanto, R é reflexiva.

Passo 4

Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que x está relacionado com y , então y está relacionado com x . Ou seja, se x R y , então y R x .
No nosso caso, se f(x) = f(y) , então necessariamente f(y) = f(x) . Logo, se x R y , então y R x . Portanto, R é simétrica.

Passo 5

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que x está relacionado com y e y está relacionado com z , então x está relacionado com z . Ou seja, se x R y e y R z , então x R z .
No nosso caso, se f(x) = f(y) e f(y) = f(z) , então por igualdade, f(x) = f(z) . Portanto, se x R y e y R z , então x R z . Assim, R é transitiva.

Resposta

Como a relação R satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade, concluímos que R é uma relação de equivalência.

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