Dada uma função
, podemos definir uma relação em
da seguinte forma:
Mostre que
é uma relação de equivalência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma relação
definida por
se, e somente se,
é uma relação de equivalência. Isso está dentro do conteúdo de Teoria das Relações e vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, simetria e transitividade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Para que uma relação seja de equivalência, ela precisa satisfazer três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação
.
Passo 3
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer
, precisamos mostrar que
.
Como
(é claro que qualquer coisa é igual a si mesma), então
é verdadeiro para todo
. Portanto,
é reflexiva.
Passo 4
Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que
está relacionado com
, então
está relacionado com
. Ou seja, se
, então
.
No nosso caso, se
, então necessariamente
. Logo, se
, então
. Portanto,
é simétrica.
Passo 5
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que
está relacionado com
e
está relacionado com
, então
está relacionado com
. Ou seja, se
e
, então
.
No nosso caso, se
e
, então por igualdade,
. Portanto, se
e
, então
. Assim,
é transitiva.
Resposta
Como a relação
satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade, concluímos que
é uma relação de equivalência.