Determinar a equação do plano que passa pela reta r:l3 x+2 y+5 z+6=0 x+4 y+3 z+4=0, é paralelo à reta s: x-13=y-53=z+1-3.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa pela reta r e é paralelo à reta s. A reta r é dada pela interseção de dois planos com normais (3,2,5) e (1,4,3). A reta s está na forma simétrica, o que nos dá sua direção. Para determinar o plano, vamos:
  1. encontrar a direção de r como produto vetorial das normais,
  2. extrair a direção de s da forma simétrica,
  3. obter o vetor normal do plano como perpendicular a essas duas direções,
  4. usar um ponto qualquer de r para escrever a equação do plano.

Passo 2

As normais dos planos que definem a reta r são
n1=(3,2,5) e n2=(1,4,3).
A direção de r é
vr = n1 times n2 = (3,2,5)times(1,4,3) = l(2cdot3 - 5cdot4,;5cdot1 - 3cdot3,;3cdot4 - 2cdot1r) = (-14,-4,10)
Podemos simplificar para
vr = (7,2,-5)

Passo 3

Da forma simétrica
x-13 = y-53 = z+1-3
vemos que a direção de s é
vs = (3,3,-3)

Passo 4

O vetor normal n do plano procurado deve ser perpendicular a vr e a vs. Logo,
n = vr times vs = (7,2,-5)times(3,3,-3)
Computando componente a componente:
n = l(2cdot(-3) - (-5)cdot3,; -l(7cdot(-3) - (-5)cdot3r),; 7cdot3 - 2cdot3r) = ( -6 +15,; -(-21+15),;21 -6 ) = (9,6,15)
Podemos simplificar para
n = (3,2,5)

Passo 5

Para montar a equação do plano
ou seja
Dessa forma . Logo .
A equação é
que se expande e simplifica para

Resposta

A equação do plano é
3x + 2y + 5z + 6 = 0

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