Seja
o conjunto dos números reais. Defina a seguinte relação:
Mostre que
é uma relação de equivalência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que define uma relação
nos números reais, onde dois números
e
estão relacionados se o produto deles
é maior ou igual a zero. Nosso objetivo é mostrar que essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, simetria e transitividade, que são as propriedades que definem uma relação de equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a reflexividade. Isso significa que todo número real
está relacionado consigo mesmo. Ou seja, precisamos mostrar que
para todo
.
Como
significa que
, vamos calcular
:
Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero, porque:
Então,
é verdadeiro para todo
, o que confirma que
é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar a simetria. Isso significa que se
está relacionado com
, então
também está relacionado com
. Ou seja, se
, então
.
Sabemos que
significa que
. Vamos ver o que acontece com
:
Como a multiplicação é comutativa (
), temos que:
Portanto, se
, então
, confirmando que
é simétrica.
Passo 4
Por último, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se
está relacionado com
e
está relacionado com
, então
também está relacionado com
. Em termos matemáticos, se
e
, queremos mostrar que
.
Sabemos que:
Vamos analisar os possíveis casos para
:
-
Caso 1:
- Se
, então , então .
- Se
-
Caso 2:
- Se
, das desigualdades e , podemos dividir por (já que é positivo):
- Se
Então, \(x \cdot z \geq 0\), ou seja, \(xRz\).
- Caso 3:
- Se
, novamente das desigualdades e , dividindo por (agora negativo, a desigualdade inverte):
- Se
Então, \(x \cdot z \geq 0\), pois o produto de dois números negativos é positivo. Logo, \(xRz\).
Em todos os casos,
é verdadeiro, então
é transitiva.
Resposta
Concluímos que a relação
definida por
se e somente se
é uma relação de equivalência, pois ela é reflexiva, simétrica e transitiva.