Seja R o conjunto dos números reais. Defina a seguinte relação:
forall x, y in R, x R y se, e somente se, x y >= 0
Mostre que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que define uma relação R nos números reais, onde dois números x e y estão relacionados se o produto deles xy é maior ou igual a zero. Nosso objetivo é mostrar que essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, simetria e transitividade, que são as propriedades que definem uma relação de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a reflexividade. Isso significa que todo número real x está relacionado consigo mesmo. Ou seja, precisamos mostrar que xRx para todo x in R .
Como xRx significa que x cdot x >= 0 , vamos calcular x cdot x :
x cdot x = x^2
Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero, porque:
x^2 >= 0 para todo x in R
Então, xRx é verdadeiro para todo x , o que confirma que R é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar a simetria. Isso significa que se x está relacionado com y , então y também está relacionado com x . Ou seja, se xRy , então yRx .
Sabemos que xRy significa que x cdot y >= 0 . Vamos ver o que acontece com yRx :
y cdot x = x cdot y
Como a multiplicação é comutativa ( x cdot y = y cdot x ), temos que:
y cdot x = x cdot y >= 0
Portanto, se xRy , então yRx , confirmando que R é simétrica.

Passo 4

Por último, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se está relacionado com e está relacionado com , então também está relacionado com . Em termos matemáticos, se e , queremos mostrar que .
Sabemos que:
Vamos analisar os possíveis casos para :
  1. Caso 1:
    • Se , então , então .
  2. Caso 2:
    • Se , das desigualdades e , podemos dividir por (já que é positivo):
 Então, \(x \cdot z \geq 0\), ou seja, \(xRz\).
  1. Caso 3:
    • Se , novamente das desigualdades e , dividindo por (agora negativo, a desigualdade inverte):
 Então, \(x \cdot z \geq 0\), pois o produto de dois números negativos é positivo. Logo, \(xRz\).
Em todos os casos, é verdadeiro, então é transitiva.

Resposta

Concluímos que a relação R definida por xRy se e somente se xy >= 0 é uma relação de equivalência, pois ela é reflexiva, simétrica e transitiva.

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