\int_{2}^{3} \frac{1}{(x-2)^{\frac{5}{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{3} \frac{1}{(x-2)^{\frac{5}{4}}}\,dx
Observamos que há uma singularidade em x=2, pois o integrando se comporta como (x-2)^{-5/4}. Para resolver precisamos:
– Tratar como integral imprópria, aproximando o limite inferior.
– Usar a regra da potência para integrar (x-2)^{n}.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite:
\int_{2}^{3} (x-2)^{-\frac{5}{4}}\,dx = \lim_{a \to 2^+} \int_{a}^{3} (x-2)^{-\frac{5}{4}}\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência: se n \neq -1,
\int (x-2)^{n}\,dx = \frac{(x-2)^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n = -\tfrac{5}{4}, logo n+1 = -\tfrac{1}{4} e
\int (x-2)^{-\frac{5}{4}}\,dx = \frac{(x-2)^{-\frac{1}{4}}}{-\tfrac{1}{4}} = -4\,(x-2)^{-\frac{1}{4}} + C.

Passo 4

Calculamos o valor da integral como
\int_{a}^{3} (x-2)^{-\frac{5}{4}}\,dx = \bigl[-4\,(x-2)^{-\frac{1}{4}}\bigr]_{x=a}^{x=3} = -4\,(3-2)^{-\frac{1}{4}} - \bigl(-4\,(a-2)^{-\frac{1}{4}}\bigr).
No numerador, (3-2)^{-\tfrac{1}{4}}=1, então o termo superior é -4.
No limite inferior, quando a\to2^+, temos (a-2)^{-\tfrac{1}{4}}\to +\infty, de modo que
-4\,(a-2)^{-\frac{1}{4}} \;\longrightarrow\; -\infty.
Portanto
\int_{2}^{3} \frac{1}{(x-2)^{\frac{5}{4}}}\,dx = \lim_{a\to2^+}\bigl(-4 - (-4\,(a-2)^{-\tfrac{1}{4}})\bigr) = -4 - (-\infty) = +\infty.

Resposta

A integral diverge (é infinita).

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