Dada a função
, pede-se:
(a) Determine o domínio dessa função.
(b) Calcule os limites da função dada para
e
.
© Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função
é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e porque.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©.
(h) Determine a imagem dessa função.
(a) Determine o domínio dessa função.
(b) Calcule os limites da função dada para
© Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©.
(h) Determine a imagem dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que estamos analisando é
. Vamos explorar diferentes aspectos dessa função, como domínio, limites, assíntotas, continuidade, gráfico e imagem. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, incluindo limites, assíntotas verticais e horizontais, continuidade e imagem. Vamos por partes!
Passo 2
(a) Determinar o domínio da função
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, vemos que há uma divisão, e a divisão por zero não é permitida. Portanto, precisamos identificar os valores de
que tornam o denominador zero.
O denominador é
. Vamos igualar a zero:
Resolvendo:
Então,
e
são valores que não podem estar no domínio.
Domínio: Todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
(b) Calcular os limites da função para
e
Vamos calcular os limites de
quando
tende a
e
. Isso nos ajuda a entender o comportamento da função para valores muito grandes e muito pequenos de
.
A função é:
Para
,
domina e
. Então:
Portanto:
Limites:
Passo 4
© Calcular os limites laterais que forem necessários
Agora, vamos verificar se há limites laterais diferentes em pontos onde a função pode não ser contínua, que são
e
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Limites laterais:
- Em
: - Em
:
Passo 5
(d) Escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função
As assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a
ou
, ou seja, onde o denominador é zero e o numerador não compensa essa divisão por zero.
Das análises anteriores, vimos que o denominador
se anula em
e
. Portanto, temos assíntotas verticais nesses pontos.
Equações das assíntotas verticais:
Passo 6
(e) Escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função
As assíntotas horizontais são determinadas pelos limites da função quando
tende a
ou
. Já calculamos esses limites no item (b) e vimos que ambos são iguais a 1.
Isso significa que a linha
é uma assíntota horizontal para a função.
Equação da assíntota horizontal:
Passo 7
(f) A função
é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e por quê.
Continuidade significa que a função está “ligada”, sem saltos ou buracos no gráfico. Para verificar a continuidade, precisamos ver onde a função não está definida ou onde há saltos.
No nosso caso, a função
não está definida em
e
, conforme determinado no domínio. Além disso, nos limites laterais nesses pontos tendem a
, indicando descontinuidades infinitas.
Conclusão:
A função não é contínua em todos os reais. Ela apresenta descontinuidades nos pontos:
A função
Isso ocorre porque a função não está definida nesses pontos e apresenta assíntotas verticais.
Passo 8
(g) Fazer um esboço do gráfico dessa função e apresentar no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©
Vamos esboçar o gráfico de
:
- Domínio:
e - Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
- Comportamento nos limites:
- Conforme
, se aproxima de 1 (linha horizontal). - Próximo de
e , a função tende a , de acordo com os limites laterais.
- Conforme
Esboço:
- Desenhe as assíntotas verticais em
e como linhas pontilhadas. - Desenhe a assíntota horizontal em
como uma linha pontilhada. - Para
, a função tende a 1 e desce para próximo a . - Entre
e , a função sobe de em para em . - Para
, a função se aproxima de 1 a partir de cima.
Infelizmente, não posso desenhar aqui, mas seguindo essas orientações você consegue esboçar o gráfico.
Passo 9
(h) Determinar a imagem dessa função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir.
Analisando o gráfico e o comportamento da função:
- A função se aproxima de 1, mas pode assumir qualquer valor maior ou menor que 1 devido às assíntotas verticais.
- Não há restrições nos valores de
exceto no ponto onde a função nunca atinge exatamente 1 devido à assíntota horizontal.
Portanto, a imagem é todos os números reais exceto 1.
Imagem:
Resposta
A imagem da função
é todos os números reais exceto 1, ou seja: