Dada a função f(x) = 1 + 1/((x - 1)(x + 1)), pede-se:
(a) Determine o domínio dessa função.
(b) Calcule os limites da função dada para x -> +infinito e x -> -infinito.
© Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e porque.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©.
(h) Determine a imagem dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que estamos analisando é . Vamos explorar diferentes aspectos dessa função, como domínio, limites, assíntotas, continuidade, gráfico e imagem. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, incluindo limites, assíntotas verticais e horizontais, continuidade e imagem. Vamos por partes!

Passo 2

(a) Determinar o domínio da função

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , vemos que há uma divisão, e a divisão por zero não é permitida. Portanto, precisamos identificar os valores de que tornam o denominador zero.
O denominador é . Vamos igualar a zero:
Resolvendo:
Então, e são valores que não podem estar no domínio.
Domínio: Todos os números reais exceto e .

Passo 3

(b) Calcular os limites da função para e

Vamos calcular os limites de quando tende a e . Isso nos ajuda a entender o comportamento da função para valores muito grandes e muito pequenos de .
A função é:
Para , domina e . Então:
Portanto:
Limites:

Passo 4

© Calcular os limites laterais que forem necessários

Agora, vamos verificar se há limites laterais diferentes em pontos onde a função pode não ser contínua, que são e .
Primeiro, para :
Agora, para :
Limites laterais:
  • Em :
  • Em :

Passo 5

(d) Escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função

As assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a ou , ou seja, onde o denominador é zero e o numerador não compensa essa divisão por zero.
Das análises anteriores, vimos que o denominador se anula em e . Portanto, temos assíntotas verticais nesses pontos.
Equações das assíntotas verticais:

Passo 6

(e) Escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função

As assíntotas horizontais são determinadas pelos limites da função quando tende a ou . Já calculamos esses limites no item (b) e vimos que ambos são iguais a 1.
Isso significa que a linha é uma assíntota horizontal para a função.
Equação da assíntota horizontal:

Passo 7

(f) A função é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e por quê.

Continuidade significa que a função está “ligada”, sem saltos ou buracos no gráfico. Para verificar a continuidade, precisamos ver onde a função não está definida ou onde há saltos.
No nosso caso, a função não está definida em e , conforme determinado no domínio. Além disso, nos limites laterais nesses pontos tendem a , indicando descontinuidades infinitas.
Conclusão:
A função não é contínua em todos os reais. Ela apresenta descontinuidades nos pontos:
Isso ocorre porque a função não está definida nesses pontos e apresenta assíntotas verticais.

Passo 8

(g) Fazer um esboço do gráfico dessa função e apresentar no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©

Vamos esboçar o gráfico de :
  1. Domínio: e
  2. Assíntotas verticais: e
  3. Assíntota horizontal:
  4. Comportamento nos limites:
    • Conforme , se aproxima de 1 (linha horizontal).
    • Próximo de e , a função tende a , de acordo com os limites laterais.
Esboço:
  • Desenhe as assíntotas verticais em e como linhas pontilhadas.
  • Desenhe a assíntota horizontal em como uma linha pontilhada.
  • Para , a função tende a 1 e desce para próximo a .
  • Entre e , a função sobe de em para em .
  • Para , a função se aproxima de 1 a partir de cima.
Infelizmente, não posso desenhar aqui, mas seguindo essas orientações você consegue esboçar o gráfico.

Passo 9

(h) Determinar a imagem dessa função

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Analisando o gráfico e o comportamento da função:
  • A função se aproxima de 1, mas pode assumir qualquer valor maior ou menor que 1 devido às assíntotas verticais.
  • Não há restrições nos valores de exceto no ponto onde a função nunca atinge exatamente 1 devido à assíntota horizontal.
Portanto, a imagem é todos os números reais exceto 1.
Imagem:

Resposta

A imagem da função é todos os números reais exceto 1, ou seja:

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