Escreva a definição formal de limites. Explique o que ela significa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. Você pediu para escrever a definição formal de limites e explicar o que isso significa. Estamos falando sobre o conceito de limites na matemática, que é fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição formal, também conhecida como definição epsilon-delta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um limite. Imagine que você tem uma função
e quer saber o que acontece com
quando
se aproxima de um certo valor
. O limite nos diz o valor que
está se aproximando à medida que
chega perto de
.
Passo 3
Agora, vamos para a definição formal. A definição epsilon-delta diz o seguinte:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 4
Vamos quebrar isso. Aqui,
é o limite que queremos encontrar. O
representa uma pequena margem de erro para quão próximo queremos que
esteja de
. Já o
é a distância que
precisa estar de
para garantir que
esteja dentro da margem
.
Passo 5
Isso significa que podemos tornar
tão próximo quanto quisermos de
, escolhendo
suficientemente próximo de
. É uma maneira rigorosa de dizer que
se aproxima de
à medida que
se aproxima de
.
Resposta
A definição formal de limite é:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Isso significa que podemos fazer
ficar tão próximo quanto quisermos do valor
escolhendo
suficientemente próximo de
.