Escreva a definição formal de limites. Explique o que ela significa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. Você pediu para escrever a definição formal de limites e explicar o que isso significa. Estamos falando sobre o conceito de limites na matemática, que é fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição formal, também conhecida como definição epsilon-delta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um limite. Imagine que você tem uma função e quer saber o que acontece com quando se aproxima de um certo valor . O limite nos diz o valor que está se aproximando à medida que chega perto de .

Passo 3

Agora, vamos para a definição formal. A definição epsilon-delta diz o seguinte:
Para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 4

Vamos quebrar isso. Aqui, é o limite que queremos encontrar. O representa uma pequena margem de erro para quão próximo queremos que esteja de . Já o é a distância que precisa estar de para garantir que esteja dentro da margem .

Passo 5

Isso significa que podemos tornar tão próximo quanto quisermos de , escolhendo suficientemente próximo de . É uma maneira rigorosa de dizer que se aproxima de à medida que se aproxima de .

Resposta

A definição formal de limite é:
Para todo , existe um tal que, se , então .
Isso significa que podemos fazer ficar tão próximo quanto quisermos do valor escolhendo suficientemente próximo de .

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