Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar qual é o limite. Vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, que é parte do estudo de cálculo. Para resolver isso, a gente vai analisar o comportamento da sequência conforme
cresce cada vez mais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma sequência converge. Dizemos que
converge para um limite
se, conforme
fica muito grande, os valores de
se aproximam cada vez mais de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa sequência:
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem
. Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
presente na expressão.
Passo 4
Dividindo tudo por
, temos:
Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
À medida que
fica muito grande,
se aproxima de zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 6
Portanto, o limite da sequência é:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.