Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=nraizn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência an = nraizn^2+1 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar qual é o limite. Vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, que é parte do estudo de cálculo. Para resolver isso, a gente vai analisar o comportamento da sequência conforme n cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma sequência converge. Dizemos que an converge para um limite L se, conforme n fica muito grande, os valores de an se aproximam cada vez mais de L .

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa sequência:
an = nraizn^2+1
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem n . Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por n , que é a maior potência de n presente na expressão.

Passo 4

Dividindo tudo por n , temos:
an = nraizn^2+1 = n/nraizn^2/n^2 + 1/n^2 = 1raiz1 + 1n^2
Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 1raiz1 + 1n^2
À medida que n fica muito grande, 1n^2 se aproxima de zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
1 + 1n^2 approx 1 + 0 = 1

Passo 6

Portanto, o limite da sequência é:
limn to infty an = 1raiz1 = 1

Resposta

A sequência an = nraizn^2+1 converge e o seu limite é 1.

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