Dada a função f(x)=\ln x, encontre a derivada da sua função inversa, ou seja, a derivada de f^{-1}=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a função inversa f^{-1}(x)=e^{x} da função f(x)=\ln x e pede sua derivada. O conteúdo aqui é a derivada de função inversa, que usa a fórmula geral para derivadas de inversas.

Passo 2

A fórmula da derivada de uma inversa diz que, se f é diferenciável e invertível, então
(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Aqui precisamos também de f'(x) para f(x)=\ln x. Calculando,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr) = \frac{1}{x}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com f^{-1}(y)=e^{y}:
(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'\bigl(e^{y}\bigr)} = \frac{1}{1/(e^{y})} = e^{y}.
Trocando y por x, obtemos a derivada de e^{x}.

Resposta

\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) = e^{x}.

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