Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Vamos listar claramente o que temos e o que é exigido:
- O numerador é
. Para a raiz de índice par estar definida, o radicando deve ser não negativo, ou seja: . - O denominador é
. Para a raiz quadrada estar definida é necessário que o radicando seja não negativo, mas como esse resultado fica no denominador, não podemos ter denominar igual a zero. Portanto precisamos de
- O domínio da função é o conjunto dos
que satisfazem simultaneamente as duas condições acima.
Resumo das informações dadas:
- Condição (A):
(peguei isso do radicando da raiz quarta). - Condição (B):
(peguei isso do radicando da raiz quadrada no denominador).
O domínio é a interseção das soluções de (A) e (B).
Passo 2
Interpretando e traduzindo as condições em desigualdades simples:
- Da condição (A) obtemos
Explicando rapidinho:
é uma raiz de índice par, logo o número dentro dela deve ser maior ou igual a zero; se
a raiz vale zero e isso é permitido pois está no numerador.
- Da condição (B) precisamos resolver a desigualdade
Explicando a ideia para resolver essa desigualdade: primeiro encontramos as raízes (zeros) do polinômio
. Essas raízes particionam a reta em intervalos onde o sinal de
é constante; então testamos o sinal em cada intervalo. Como o coeficiente líder é
, sabemos que conforme
o polinômio vai para
, e os sinais alternam ao cruzar cada raiz simples.
Passo 3
Procurando raízes reais do polinômio
.
Tentar possíveis raízes racionais (teorema das raízes racionais) com
e suas metades não deu raiz exata (testes rápidos:
,
,
,
,
, etc.). Isso indica que as raízes provavelmente são irracionais. Então usamos o Teorema do Valor Intermediário (avaliar o polinômio em pontos e procurar troca de sinal) e bissecção para aproximá-las.
Avaliações que mostram trocas de sinal (peguei esses valores avaliando
):
-
e → troca de sinal em , há uma raiz aí. -
e → troca de sinal em , há uma raiz aí. -
e → troca de sinal em , há uma raiz aí.
Portanto existem três raízes reais distintas, uma em cada um desses intervalos.
Passo 4
Aproximação numérica das raízes por bissecção (mostrando alguns passos de cálculo para cada raiz).
Raiz
em
:
-
, . - Refinei por bissecção e encontrei, após algumas iterações,
.
(Procedimento: avaliarem pontos médios e reduzir o intervalo até precisão desejada; mostrei cálculos intermediários na análise.)
Raiz
em
:
-
, . - Refinei por bissecção e encontrei
.
Raiz
em
:
-
, . - Refinei por bissecção e encontrei
.
Observação sobre precisão: os valores acima são aproximações numéricas com precisão suficiente para identificar os intervalos do domínio. Em prova, normalmente basta indicar os intervalos entre essas raízes (ou usar métodos gráficos/numéricos para localizar as trocas de sinal).
Passo 5
Determinação do sinal de
usando as raízes aproximadas e o coeficiente líder.
Como o coeficiente de
é positivo (
), o sinal de
para
é positivo. Entre as raízes simples o sinal alterna. Assim o padrão de sinais é:
-
para , -
para , -
para , -
para .
Verificações rápidas (pegadas das avaliações anteriores):
- Em
(que está entre e ) temos , consistente. - Em
(entre e ) temos , consistente. - Em
(maior que ) , consistente.
Portanto a solução da desigualdade
é
Passo 6
Interseção com a condição
.
Lembrando que a condição do numerador exige
. Como
, o intervalo
fica inteiro dentro da condição
. O ponto
em si não satisfaz
(temos
), então
está fora do domínio. Também não podemos incluir as raízes
porque aí o denominador seria zero. Portanto, a interseção final é
com os valores aproximados dos
dados acima.