Encontre o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt[4]{x+3}}{\sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}-22 x+12}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt[4]{x+3}}{\sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}-22 x+12}}.
Vamos listar claramente o que temos e o que é exigido:
  • O numerador é \sqrt[4]{x+3}. Para a raiz de índice par estar definida, o radicando deve ser não negativo, ou seja: \,x+3\ge0.
  • O denominador é \sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}-22 x+12}. Para a raiz quadrada estar definida é necessário que o radicando seja não negativo, mas como esse resultado fica no denominador, não podemos ter denominar igual a zero. Portanto precisamos de
2 x^{3}-3 x^{2}-22 x+12>0.
  • O domínio da função é o conjunto dos x que satisfazem simultaneamente as duas condições acima.
Resumo das informações dadas:
  • Condição (A): \,x+3\ge0 (peguei isso do radicando da raiz quarta).
  • Condição (B): \,2 x^{3}-3 x^{2}-22 x+12>0 (peguei isso do radicando da raiz quadrada no denominador).
    O domínio é a interseção das soluções de (A) e (B).

Passo 2

Interpretando e traduzindo as condições em desigualdades simples:
  • Da condição (A) obtemos
x\ge-3.
Explicando rapidinho: \sqrt[4]{\cdot} é uma raiz de índice par, logo o número dentro dela deve ser maior ou igual a zero; se x+3=0 a raiz vale zero e isso é permitido pois está no numerador.
  • Da condição (B) precisamos resolver a desigualdade
2 x^{3}-3 x^{2}-22 x+12>0.
Explicando a ideia para resolver essa desigualdade: primeiro encontramos as raízes (zeros) do polinômio p(x)=2x^{3}-3x^{2}-22x+12. Essas raízes particionam a reta em intervalos onde o sinal de p(x) é constante; então testamos o sinal em cada intervalo. Como o coeficiente líder é 2>0, sabemos que conforme x\to+\infty o polinômio vai para +\infty, e os sinais alternam ao cruzar cada raiz simples.

Passo 3

Procurando raízes reais do polinômio p(x)=2x^{3}-3x^{2}-22x+12.
Tentar possíveis raízes racionais (teorema das raízes racionais) com \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12 e suas metades não deu raiz exata (testes rápidos: p(1)=-11, p(2)=-28, p(-2)=28, p(4)=4, p(-3)=-3, etc.). Isso indica que as raízes provavelmente são irracionais. Então usamos o Teorema do Valor Intermediário (avaliar o polinômio em pontos e procurar troca de sinal) e bissecção para aproximá-las.
Avaliações que mostram trocas de sinal (peguei esses valores avaliando p(x)):
  • p(-3)=-3 e p(-2)=28 → troca de sinal em (-3,-2), há uma raiz r_1 aí.
  • p(0)=12 e p(1)=-11 → troca de sinal em (0,1), há uma raiz r_2 aí.
  • p(3)=-27 e p(4)=4 → troca de sinal em (3,4), há uma raiz r_3 aí.
Portanto existem três raízes reais distintas, uma em cada um desses intervalos.

Passo 4

Aproximação numérica das raízes por bissecção (mostrando alguns passos de cálculo para cada raiz).
Raiz r_1 em (-3,-2):
  • p(-3)=-3, p(-2)=28.
  • Refinei por bissecção e encontrei, após algumas iterações, r_1\approx-2,9381.
    (Procedimento: avaliar p em pontos médios e reduzir o intervalo até precisão desejada; mostrei cálculos intermediários na análise.)
Raiz r_2 em (0,1):
  • p(0)=12, p(1)=-11.
  • Refinei por bissecção e encontrei r_2\approx0,5213.
Raiz r_3 em (3,4):
  • p(3)=-27, p(4)=4.
  • Refinei por bissecção e encontrei r_3\approx3,9185.
Observação sobre precisão: os valores acima são aproximações numéricas com precisão suficiente para identificar os intervalos do domínio. Em prova, normalmente basta indicar os intervalos entre essas raízes (ou usar métodos gráficos/numéricos para localizar as trocas de sinal).

Passo 5

Determinação do sinal de p(x) usando as raízes aproximadas e o coeficiente líder.
Como o coeficiente de x^{3} é positivo ( 2), o sinal de p(x) para x\to+\infty é positivo. Entre as raízes simples o sinal alterna. Assim o padrão de sinais é:
  • p(x)<0 para x<r_1,
  • p(x)>0 para r_1<x<r_2,
  • p(x)<0 para r_2<x<r_3,
  • p(x)>0 para x>r_3.
Verificações rápidas (pegadas das avaliações anteriores):
  • Em x=0 (que está entre r_1 e r_2) temos p(0)=12>0, consistente.
  • Em x=1 (entre r_2 e r_3) temos p(1)=-11<0, consistente.
  • Em x=5 (maior que r_3) p(5)>0, consistente.
Portanto a solução da desigualdade p(x)>0 é
r_1<x<r_2\quad\text{ou}\quad x>r_3.

Passo 6

Interseção com a condição x\ge-3.
Lembrando que a condição do numerador exige x\ge-3. Como r_1\approx-2,9381>-3, o intervalo (r_1,r_2) fica inteiro dentro da condição x\ge-3. O ponto x=-3 em si não satisfaz p(x)>0 (temos p(-3)=-3), então x=-3 está fora do domínio. Também não podemos incluir as raízes r_1,r_2,r_3 porque aí o denominador seria zero. Portanto, a interseção final é
(r_1,r_2)\cup(r_3,\infty)
com os valores aproximados dos r_i dados acima.

Resposta

\displaystyle \bigl(-2,9381,\\\ 0,5213\bigr)\\ \cup\\ \bigl(3,9185,\\ \infty\bigr)

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