Seja h(x, y)=raiz[3]x^2 y. Mostre que h é continua em (0,0), usando a definição de limite.

Passo 1

O enunciado dá a função h(x,y)=raiz[3]x^2y e pede para mostrar que ela é contínua em (0,0) usando a definição de limite em R^2. Vamos aplicar exatamente esse conceito de limite.

Passo 2

Para provar continuidade em (0,0) precisamos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que raizx^2+y^2, tenha-se
|h(x,y)-h(0,0)|
Observamos que h(0,0)=raiz[3]0=0.

Passo 3

Vamos estimar
|h(x,y)-h(0,0)|=|raiz[3]x^2y|=|x^2y|^1/3=|x|^2/3,|y|^1/3
Defina r=raizx^2+y^2. Como |x|<= r e |y|<= r, segue que
|h(x,y)-h(0,0)|<= r^2/3,r^1/3=r

Passo 4

Basta então escolher de. Se raizx^2+y^2 então r e portanto
|h(x,y)-h(0,0)|<= r
Isso prova que lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=0, ou seja, h é contínua em (0,0).

Resposta

A função h é contínua em (0,0).

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