Dada a função f(x)=1-|cos (pi x)|:
determine o domínio, os zeros, o período e a imagem de f

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1-|cos(pi x)|
e pede: domínio, zeros, período e imagem. Para isso vamos usar propriedades da função cosseno, do valor absoluto e de funções periódicas.

Passo 2

O cosseno está definido para todo xinR, o valor absoluto também, e subtrair de 1 não impõe restrição. Logo o domínio é
R

Passo 3

Para achar os zeros resolvemos
f(x)=0 Long<=ftrightarrow 1-|cos(pi x)|=0 Long<=ftrightarrow |cos(pi x)|=1
Isso ocorre quando cos(pi x)=pm1, ou seja
pi x = kpi Longrightarrow x=k,
com kinZ. Portanto os zeros são todos os inteiros.

Passo 4

Para o período T basta verificar
f(x+1)=1-|cos(pi(x+1))| =1-|cos(pi x+pi)| =1-|,-cos(pi x)| =1-|cos(pi x)|=f(x)
Logo T=1 é um período (é o fundamental).

Passo 5

Como |cos(pi x)| varia em [0,1], temos
f(x)=1-|cos(pi x)|in[0,1]
O mínimo 0 ocorre em xinZ e o máximo 1 ocorre em x=(2k+1)/2.

Resposta

Domínio: R
Zeros: ,kinZ
Período: 1
Imagem: [0,1]

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