Responda Verdadeiro ou Falso para as seguintes afirmações, justificando:
Seja a função g:[1,+infty[[0, pi / 2[ em que g(x)=arctg raizx^2-1. Então, uma expressão para a sua inversa pode ser dada por g^-1(y)=sec y, forall y in[0, pi / 2[

Passo 1

O enunciado define
g:[1,+infty[;to;[0,tfracpi2[
por
g(x)=arctgraizx^2-1
Pede-se verificar se a inversa satisfaz
g^-1(y)=sec y, yin[0,tfracpi2[

Passo 2

Para achar a inversa, começamos escrevendo
y = g(x) = arctgraizx^2-1
Aplicando a tangente em ambos os lados, obtemos
tan(y)=raizx^2-1

Passo 3

Elevando ao quadrado e isolando x, temos
tan^2(y)=x^2-1 Longrightarrow x^2=1+tan^2(y)=sec^2(y) Longrightarrow x=raizsec^2(y)=sec(y),
onde escolhemos o sinal positivo pois x>=1.

Passo 4

Como yin[0,tfracpi2[ temos cos(y)>0 e sec(y)>=1, logo
sec(y)in[1,+infty[, que é exatamente o domínio de g. Assim,
sec é de fato a inversa de g.

Resposta

Verdadeiro.

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