Quais valores de x in[-1,1] são soluções da equação sen pi x+cos pi x=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
sin(pi x) + cos(pi x) = 0
no intervalo [-1,1].
Isso é uma equação trigonométrica simples; vamos usar identidades de soma e a definição de tangente para encontrar as soluções.

Passo 2

Observe que, sempre que cos(pi x)neq0, podemos dividir a equação por cos(pi x), obtendo
tan(pi x) ;=;sin(pi x)cos(pi x) ;=;-1
Note que se cos(pi x)=0 então sin(pi x)=pm1, mas aí sin(pi x)+cos(pi x) seria pm1+0neq0. Logo todas as soluções vêm de tan(pi x)=-1.

Passo 3

A solução geral de tan(theta)=-1 é
theta = -pi4 + kpi, kinZ
Aqui theta=pi x, portanto
pi x = -pi4 + kpi Longrightarrow x = -14 + k

Passo 4

Precisamos de xin[-1,1]. Para x=-tfrac14+k isso dá:
  • se k=0, x=-tfrac14in[-1,1];
  • se k=1, x=1-tfrac14=tfrac34in[-1,1];
  • para k=-1 temos x=-tfrac54<-1 e para k=2 temos x=tfrac74>1.
    Logo só há duas soluções no intervalo.

Resposta

x=-14 e x=34

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