Dada a função f(x)=|x|-5 x+1, determine se ela é contínua no intervalo [-2,2]. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = |x| - 5x + 1 $ e precisa descobrir se ela é contínua no intervalo de f(x) = |x| - 5x + 1 a -2. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente verifica se a função não tem “quebras” ou “saltos” nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita.
  3. Esse limite é igual ao valor da função no ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(x) = |x| - 5x + 1 $. Ela é composta de três partes:
  • $ |x| $: o valor absoluto de f(x) = |x| - 5x + 1 , que é contínuo em todos os lugares.
  • $ -5x $: uma função linear, também contínua em todos os lugares.
  • $ +1 $: uma constante, que não afeta a continuidade.

Passo 4

Como a soma de funções contínuas é contínua, $ f(x) $ é contínua em todos os pontos onde cada parte é contínua. Já vimos que todas as partes são contínuas em todo lugar, então $ f(x) $ é contínua em todo o seu domínio.

Passo 5

Especificamente no intervalo [-2, 2], não há nenhum ponto onde a função possa ter uma “quebra” ou “salto”. Mesmo no ponto 0, onde o valor absoluto muda a fórmula, a função continua sendo contínua porque os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função.

Resposta

A função $ f(x) = |x| - 5x + 1 $ é contínua no intervalo f(x) = |x| - 5x + 1 , já que não apresenta quebras ou saltos nesse intervalo.

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