Dada a função
, determine se ela é contínua no intervalo
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = |x| - 5x + 1 $ e precisa descobrir se ela é contínua no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente verifica se a função não tem “quebras” ou “saltos” nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita.
- Esse limite é igual ao valor da função no ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(x) = |x| - 5x + 1 $. Ela é composta de três partes:
- $ |x| $: o valor absoluto de
, que é contínuo em todos os lugares. - $ -5x $: uma função linear, também contínua em todos os lugares.
- $ +1 $: uma constante, que não afeta a continuidade.
Passo 4
Como a soma de funções contínuas é contínua, $ f(x) $ é contínua em todos os pontos onde cada parte é contínua. Já vimos que todas as partes são contínuas em todo lugar, então $ f(x) $ é contínua em todo o seu domínio.
Passo 5
Especificamente no intervalo
, não há nenhum ponto onde a função possa ter uma “quebra” ou “salto”. Mesmo no ponto
, onde o valor absoluto muda a fórmula, a função continua sendo contínua porque os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função.
Resposta
A função $ f(x) = |x| - 5x + 1 $ é contínua no intervalo
, já que não apresenta quebras ou saltos nesse intervalo.