Dada a função
, pretende-se encontrar de x tal que
. Encontre um intervalo
que contenha somente uma solução do problema. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede um intervalo
que contenha exatamente uma solução de
O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade e mudança de sinal) e a monotonicidade (derivada sempre positiva) para garantir unicidade da raiz.
Passo 2
Definimos
Como
e
são deriváveis, temos
Como
para todo
e
, segue que
logo
é estritamente crescente e admite no máximo uma raiz.
Passo 3
Calculamos
em dois pontos para verificar mudança de sinal:
Como
é contínua e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
, ou seja,
.
Passo 4
Como
é estritamente crescente, essa raiz em
é única. Portanto, o intervalo procurado é