Dada a função f(x)=e^{x-2}+x^{5}-1, pretende-se encontrar de x tal que f(x)=2. Encontre um intervalo [\mathrm{a}, \mathrm{b}] que contenha somente uma solução do problema. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x-2}+x^{5}-1
e pede um intervalo [\mathrm{a},\mathrm{b}] que contenha exatamente uma solução de
f(x)=2.
O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade e mudança de sinal) e a monotonicidade (derivada sempre positiva) para garantir unicidade da raiz.

Passo 2

Definimos
g(x)=f(x)-2=e^{x-2}+x^{5}-3.
Como e^{x-2} e x^{5} são deriváveis, temos
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x-2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr) =e^{x-2}+5x^{4}.
Como e^{x-2}>0 para todo x e 5x^{4}\ge0, segue que
g'(x)>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
logo g é estritamente crescente e admite no máximo uma raiz.

Passo 3

Calculamos g em dois pontos para verificar mudança de sinal:
g(1)=e^{-1}+1-3=e^{-1}-2\approx0{,}37-2=-1{,}63<0,
g(2)=e^{0}+32-3=1+32-3=30>0.
Como g é contínua e g(1)\cdot g(2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(1,2) tal que g\text{(c)}=0, ou seja, f\text{(c)}=2.

Passo 4

Como g é estritamente crescente, essa raiz em (1,2) é única. Portanto, o intervalo procurado é
[a,b]=[1,2].

Resposta

[1,2] contém exatamente uma solução de f(x)=2.

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