Seja
. Procura-se o valor de x que minimiza a função. Dado que
é convexa, o problema é equivalente a encontrar o zero de que função?
(i) É possível encontrar uma aproximação de
pelo método da bisseção?
(ii) Resolva pelos métodos secante e Newton-Raphson
. Trabalhe com 4 casas decimais e com truncamento.
(iii) Neste caso, a ordem de convergência de Newton-Raphson é quadrática? Justifique a resposta.
(i) É possível encontrar uma aproximação de
(ii) Resolva pelos métodos secante e Newton-Raphson
(iii) Neste caso, a ordem de convergência de Newton-Raphson é quadrática? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede o ponto que minimiza a função
sabendo que
é convexa. Em otimização convexa, o mínimo ocorre exatamente onde
Logo, vamos precisar:
- calcular
, - formular a função cujos zeros buscamos,
- verificar se podemos usar bisseção,
- aplicar os métodos da secante e Newton–Raphson com
, truncando a quatro casas decimais, - discutir a ordem de convergência de Newton.
Passo 2
Derivando
Portanto, o problema é equivalente a achar o zero da função
Passo 3
(i) Para usar o método da bisseção precisamos de um intervalo
com
.
Escolhendo e
:
Escolhendo
como
e
, há mudança de sinal em
, logo é possível usar bisseção.
Passo 4
(ii) Método da secante com
,
, truncando a 4 casas após cada iteração até
:
aqui
, parabéns, secante dá
Passo 5
(ii) Método de Newton–Raphson com
, partindo de
:
e
, logo
Passo 6
(iii) Em teoria, Newton–Raphson tem ordem de convergência quadrática quando
no zero
. Aqui
portanto, localmente a convergência é quadrática.
Resposta
(i) Achar o zero de
,
Newton–Raphson: .
(iii) Sim, a ordem é quadrática porque .)
Newton–Raphson:
(iii) Sim, a ordem é quadrática porque