Determine uma aproximação da raiz da equação x+\log (x)=0 pelos métodos:
da bisseção no intervalo [0.1,0.6].

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=x+\ln(x)=0
no intervalo [0,1] restrito a [0{,}1,\,0{,}6] pelo método da bisseção. O conteúdo é o método da bisseção, que exige uma função contínua em [a,b] e sinais opostos em f(a) e f(b).

Passo 2

Definimos
a_0=0{,}1,\quad b_0=0{,}6,\quad f(x)=x+\ln(x).
Calculamos
f(a_0)=0{,}1+\ln(0{,}1)=0{,}1-2{,}302585\approx -2{,}202585<0,
f(b_0)=0{,}6+\ln(0{,}6)=0{,}6-0{,}510826\approx 0{,}089174>0.
Como f(a_0)\,f(b_0)<0, existe pelo menos uma raiz em [a_0,b_0]. Escolhemos tolerância \varepsilon=10^{-4} no comprimento do intervalo, isto é, paramos quando b_k-a_k<10^{-4}.

Passo 3

Aplicamos iterativamente o passo da bisseção:
– Em cada iteração k computamos c_k=(a_{k-1}+b_{k-1})/2 e avaliamos f(c_k).
– Se f(c_k)=0, paramos; se f(c_k) tem mesmo sinal de f(a_{k-1}), tomamos a_k=c_k,\;b_k=b_{k-1}; caso contrário, a_k=a_{k-1},\;b_k=c_k.
Fazendo isso, chega-se ao seguinte encurtamento do intervalo:
[a_0,b_0]=[0{,}1,0{,}6]\;\to\;\dots\;\to\;[a_{13},b_{13}]=[0{,}5671630859375,\;0{,}56722412109375],
onde b_{13}-a_{13}\approx6,1\times10^{-5}<10^{-4}.

Resposta

A aproximação da raiz pela bisseção é
x\approx\frac{a_{13}+b_{13}}{2}=0{,}567193603515625\approx0{,}5672.

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