Dada a função f(x)=(6-2 x) raiz(x-1)^2raiz(x-1)^2.
É possível definir f(x) em x=1 de modo que ela seja contínua neste ponto? Se for, quanto deve valer f(1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{(6 - 2x) \sqrt{(x - 1)^{2}}}{\sqrt{(x - 1)^{2}}} $. O que a gente precisa saber aqui é sobre continuidade de funções, que é quando o gráfico da função não tem “quebras” ou “saltos”. Queremos descobrir se dá pra definir $ f(1) $ de um jeito que a função fique contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa função. Observe que $ \sqrt{(x - 1)^{2}} $ é o mesmo que o valor absoluto de $ x - 1 $, ou seja, $ |x - 1| $. Então nossa função fica:
raiz(x - 1)^2

Passo 3

Agora, para todo $ x $ diferente de 1, o $ |x - 1| $ no numerador e denominador cancela, ficando:
x

Passo 4

O problema é que em $ x = 1 $, o denominador se torna zero, o que deixa a função indefinida. Mas a gente quer definir $ f(1) $ de um jeito que a função continue contínua ali. Para isso, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 5

Calculando o limite:
limx to 1 f(x) = limx to 1 (6 - 2x) = 6 - 2(1) = 4
Então, o limite quando $ x $ se aproxima de 1 é 4.

Passo 6

Para que a função seja contínua em $ x = 1 $, o valor de $ f(1) $ precisa ser igual a esse limite. Portanto, definimos:
x = 1

Resposta

Sim, é possível definir $ f(1) = 4 $ para que a função seja contínua em $ x = 1 $.

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