Dada a função
.
É possível definir
em
de modo que ela seja contínua neste ponto? Se for, quanto deve valer
?
É possível definir
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{(6 - 2x) \sqrt{(x - 1)^{2}}}{\sqrt{(x - 1)^{2}}} $. O que a gente precisa saber aqui é sobre continuidade de funções, que é quando o gráfico da função não tem “quebras” ou “saltos”. Queremos descobrir se dá pra definir $ f(1) $ de um jeito que a função fique contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa função. Observe que $ \sqrt{(x - 1)^{2}} $ é o mesmo que o valor absoluto de $ x - 1 $, ou seja, $ |x - 1| $. Então nossa função fica:
Passo 3
Agora, para todo $ x $ diferente de 1, o $ |x - 1| $ no numerador e denominador cancela, ficando:
Passo 4
O problema é que em $ x = 1 $, o denominador se torna zero, o que deixa a função indefinida. Mas a gente quer definir $ f(1) $ de um jeito que a função continue contínua ali. Para isso, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1.
Passo 5
Calculando o limite:
Então, o limite quando $ x $ se aproxima de 1 é 4.
Passo 6
Para que a função seja contínua em $ x = 1 $, o valor de $ f(1) $ precisa ser igual a esse limite. Portanto, definimos:
Resposta
Sim, é possível definir $ f(1) = 4 $ para que a função seja contínua em $ x = 1 $.