Dada a função
, prove que:
Se
é finito e
é sobrejetiva, então
é finito.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma função
, se
é finito e
é sobrejetiva então
é finito. Aqui usamos a definição de conjunto finito (não vazio e equipotente a
para algum
) e a noção de sobrejeção (todo
tem pelo menos um
com
).
Passo 2
Para provar uma afirmação do tipo “se A então B” podemos tentar mostrar que A é falsa ou exibir um contraexemplo em que A é verdadeira e B é falsa.
Passo 3
Considere o conjunto
e
Defina
por
ou seja,
se
é par e
se
é ímpar.
Passo 4
Verificações:
-
é finito, pois tem exatamente dois elementos. -
é sobrejetiva, já que existe par para cobrir e existe ímpar para cobrir . -
é infinito.
Portanto temos um caso em que
é finito e
é sobrejetiva, mas
não é finito.
Resposta
A afirmação é falsa; o contraexemplo acima mostra que uma função sobrejetiva em um conjunto finito de chegada pode ter domínio infinito.