Mostre que a função
possui exatamente uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
possui exatamente uma raiz real. Vamos usar cálculo de derivada para estudar a monotonicidade de
e, em seguida, o comportamento de limite em
para concluir sobre a existência e unicidade da raiz.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Para ver o sinal de
, analisamos o discriminante do polinômio quadrático
:
Como o coeficiente líder
é positivo e não há raízes reais, segue que
Passo 3
De
em toda a reta, concluímos que
é estritamente crescente. Logo,
pode ter no máximo uma raiz real, pois uma função estritamente crescente cruza o eixo
em no máximo um ponto.
Passo 4
Por outro lado, como
é um polinômio de grau ímpar, temos
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um
tal que
.
Resposta
Como existe pelo menos uma raiz real e, em razão da estrita monotonicidade, há no máximo uma, concluímos que
possui exatamente uma raiz real.