Mostre que a função f(x)=x^3+9 x^2+33 x-8 possui exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x^3+9x^2+33x-8
possui exatamente uma raiz real. Vamos usar cálculo de derivada para estudar a monotonicidade de f e, em seguida, o comportamento de limite em xtopminfty para concluir sobre a existência e unicidade da raiz.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^3+9x^2+33x-8r) =3x^2+18x+33
Para ver o sinal de f'(x), analisamos o discriminante do polinômio quadrático 3x^2+18x+33:
De<a = 18^2-4cdot3cdot33 =324-396 = -72 < 0
Como o coeficiente líder 3 é positivo e não há raízes reais, segue que
f'(x)>0para todo xinR

Passo 3

De f'(x)>0 em toda a reta, concluímos que f é estritamente crescente. Logo, f pode ter no máximo uma raiz real, pois uma função estritamente crescente cruza o eixo x em no máximo um ponto.

Passo 4

Por outro lado, como f é um polinômio de grau ímpar, temos
limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=+infty
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um cinR tal que f(c)=0.

Resposta

Como existe pelo menos uma raiz real e, em razão da estrita monotonicidade, há no máximo uma, concluímos que f(x) possui exatamente uma raiz real.

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