Dada a função
, mostre que não existe
tal que
. Por quê este fato não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que não existe
tal que
O conteúdo envolve:
– derivação pelo quociente para encontrar ,
– cálculo da taxa média ,
– aplicação (ou falha) das hipóteses do Teorema do Valor Médio.
– derivação pelo quociente para encontrar
– cálculo da taxa média
– aplicação (ou falha) das hipóteses do Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Usando a regra do quociente,
Passo 3
Calculemos
e
:
Assim,
Passo 4
Queremos resolver
Multiplicando ambos os lados por
dá
o que não tem solução real. Logo não existe
satisfazendo
.
Passo 5
O Teorema do Valor Médio exige que
seja contínua em
e diferenciável em
. Aqui
não está definida (nem contínua) em
, que fica dentro de
. Logo a hipótese de continuidade falha, e não há contradição com o Teorema do Valor Médio.
Resposta
Não existe
tal que
Isso não contradiz o Teorema do Valor Médio porque
não é contínua em
(descontinuidade em
).