Dada a função f(x)=x+3x-2, mostre que não existe c in[0,5] tal que f^prime(c)=f(5)-f(0)5-0. Por quê este fato não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x+3x-2
e pede para mostrar que não existe c in [0,5] tal que
f'(c) = f(5)-f(0)5-0
O conteúdo envolve:
– derivação pelo quociente para encontrar f'(x),
– cálculo da taxa média tfracf(5)-f(0)5-0,
– aplicação (ou falha) das hipóteses do Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Usando a regra do quociente,
f'(x) = (1)(x-2)-(x+3)(1)(x-2)^2 = x-2-x-3(x-2)^2 = -5(x-2)^2

Passo 3

Calculemos f(5) e f(0):
f(5)=5+35-2=83, f(0)=0+30-2=-32
Assim,
f(5)-f(0)5-0 = 83-l(-32r)5 = 83+325 = 16+965 = tfrac2565 = 2530 = 56

Passo 4

Queremos resolver
-5(x-2)^2 = 56
Multiplicando ambos os lados por (x-2)^2
-5 = 56,(x-2)^2 Longrightarrow (x-2)^2 = -6,
o que não tem solução real. Logo não existe cin[0,5] satisfazendo
,f'(c)=5/6.

Passo 5

O Teorema do Valor Médio exige que f seja contínua em [0,5] e diferenciável em (0,5). Aqui f não está definida (nem contínua) em x=2, que fica dentro de [0,5]. Logo a hipótese de continuidade falha, e não há contradição com o Teorema do Valor Médio.

Resposta

Não existe cin[0,5] tal que
f'(c)=f(5)-f(0)5-0
Isso não contradiz o Teorema do Valor Médio porque f não é contínua em [0,5] (descontinuidade em x=2).

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