Enunciado: Determine o ponto do plano π: x-3 y+2 z=0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
Pela desigualdade triangular, para qualquer ponto X,|d(X, P)-d(X, Q)| \leq d(P, Q). A igualdade (o valor máximo) ocorre quando X está na reta que passa por P e Q . Portanto, o ponto procurado é a interseção da reta PQ com o plano π. P=(3,0,2), Q=(-1,0,-1)
para o qual o valor de \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr| seja máximo, sendo \displaystyle P=(3,0,2) e \displaystyle Q=(-1,0,-1).
Pela desigualdade triangular temos
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q),
e a igualdade ocorre exatamente quando X está sobre a reta que liga P a Q. Portanto, basta achar a interseção da reta PQ com o plano \pi.
Passo 2
Vamos parametrizar a reta PQ. O vetor diretor é
\vec v = Q - P = (-1-3,\;0-0,\;-1-2)=(-4,0,-3).
Tomando parâmetro t, um ponto genérico X(t) nessa reta é
X(t) = P + t\,\vec v = \bigl(3-4t,\;0,\;2-3t\bigr).
Passo 3
Impondo que X(t) pertença ao plano \pi, substituímos em x-3y+2z=0: