Dada a função f(x, y)=\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, ache o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis, e vamos usar análise por caminhos e critério de “squeeze” (teorema do sanduíche).

Passo 2

Analisando um caminho genérico do tipo y=m x, com m constante, temos
f(x,mx) =\frac{3x^{2}(m x)}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{3m\,x^{3}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{3m}{1+m^{2}}\,x.
Como x\to0, isso tende a 0, independentemente de m.

Passo 3

Para mostrar que em qualquer direção f(x,y)\to0, note que
|f(x,y)| =\frac{3|x|^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}} \le\frac{3|x|^{2}|y|}{x^{2}} =3|y|.
Aqui usamos x^{2}+y^{2}\ge x^{2}. Como (x,y)\to(0,0) implica |y|\to0, resulta que |f(x,y)|\le3|y|\to0.

Passo 4

Pelo critério do “squeeze”, f(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0), independente do caminho.

Resposta

\displaystyle 0

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