Encontre uma parametrização para a reta que é perpendicular ao vetor v=(-2,3,1) e que contém o ponto (2,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização de uma reta em \mathbb{R}^3 que passe pelo ponto P=(2,1,-1) e seja perpendicular ao vetor v=(-2,3,1). Para parametrizar uma reta usamos
\vec r(t)=P + t\,d,
sendo d o vetor diretor da reta. O que falta é escolher um vetor d tal que d\cdot v=0.

Passo 2

Seja d=(a,b,c). A condição de perpendicularidade a v é
d\cdot v = (-2,3,1)\cdot(a,b,c) = -2a + 3b + 1c = 0.

Passo 3

Para encontrar um vetor não nulo satisfazendo -2a+3b+c=0, podemos atribuir valores simples a a e b. Por exemplo, tomo a=1 e b=0. Então
-2\cdot1 +3\cdot0 + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 2.
Logo uma escolha conveniente é
d = (1,0,2),
que de fato satisfaz d\cdot v = -2\cdot1 +3\cdot0 +1\cdot2 = 0.

Passo 4

Substituindo P=(2,1,-1) e d=(1,0,2) na fórmula da reta, obtemos
\vec r(t) = (2,1,-1) + t\,(1,0,2).
Em coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 1,\\\ z = -1 + 2t. \end{cases}

Resposta

\displaystyle \vec r(t) = (2,1,-1) + t\,(1,0,2), ou equivalentemente
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 1,\\\ z = -1 + 2t. \end{cases}

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