O potencial elétrico no ponto (x, y) do plano x y é V(x, y) volts e V(x, y)=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}. Trace as curvas equipotenciais de V em 16,12,8,1,1 / 2 e 1 / 4.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico
V(x,y)=\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}}
definido para x^{2}+y^{2}<9 e pede as curvas equipotenciais correspondentes aos valores
16,\;12,\;8,\;1,\;\tfrac12,\;\tfrac14.
O conteúdo é o de curvas de nível de uma função de duas variáveis; para cada constante C resolvemos V(x,y)=C e obtemos a equação no plano x y.

Passo 2

Igualando V(x,y)=C temos
\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}}=C
que implica
\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}=\frac{1}{C} \quad\Longrightarrow\quad 9 - x^{2} - y^{2}=\frac{1}{C^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2} =9-\frac{1}{C^{2}}\,.
Essa é a equação de um círculo centrado na origem de raio
r\text{(C)}=\sqrt{9-\frac{1}{C^{2}}}\,.

Passo 3

Para que o raio seja real, é preciso
9-\frac{1}{C^{2}}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad C^{2}\ge\frac{1}{9} \quad\Longleftrightarrow\quad C\ge\frac{1}{3}\,.
Logo só há equipotencial quando C\ge\frac13. Para C<\frac13 (por exemplo C=\tfrac14) não há pontos no domínio que satisfaçam V(x,y)=C.

Passo 4

Agora calculamos r\text{(C)} para cada C pedido:
Para C=16:
r(16)=\sqrt{9-\frac{1}{16^{2}}} =\sqrt{\frac{2304-1}{256}} =\frac{\sqrt{2303}}{16}\approx2{,}9993.
Para C=12:
r(12)=\sqrt{9-\frac{1}{12^{2}}} =\sqrt{\frac{1296-1}{144}} =\frac{\sqrt{1295}}{12}\approx2{,}999.
Para C=8:
r(8)=\sqrt{9-\frac{1}{8^{2}}} =\sqrt{\frac{576-1}{64}} =\frac{\sqrt{575}}{8}\approx2{,}998.
Para C=1:
r(1)=\sqrt{9-1} =\sqrt{8} =2\sqrt{2}\approx2{,}828.
Para C=\tfrac12:
r\bigl(\tfrac12\bigr) =\sqrt{9-\frac{1}{(\tfrac12)^{2}}} =\sqrt{9-4} =\sqrt{5}\approx2{,}236.
Para C=\tfrac14: não existe r\in\mathbb{R} pois 9-\tfrac{1}{(\tfrac14)^{2}}=9-16<0.

Resposta

As curvas equipotenciais são círculos centrados na origem com raios
\begin{aligned} V=16:&\quad r=\frac{\sqrt{2303}}{16}\approx2{,}9993,\\\ V=12:&\quad r=\frac{\sqrt{1295}}{12}\approx2{,}999,\\\ V=8:&\quad r=\frac{\sqrt{575}}{8}\approx2{,}998,\\\ V=1:&\quad r=2\sqrt{2}\approx2{,}828,\\\ V=\tfrac12:&\quad r=\sqrt{5}\approx2{,}236,\\\ V=\tfrac14:&\quad\text{não existe (nenhum ponto satisfaz).} \end{aligned}ã

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