Dada a função
f(x, y)=ln (x+raizx^2+y^2)
(a) (1,5) Calcule fx e fy
(b) (1,0) Encontre f(0,1), fx(0,1) e fy(0,1)
(c) (1,5) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto $(0,1, f(0,1)).

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=lnl(x+raizx^2+y^2r). O objetivo é achar as derivadas parciais fx e fy, depois avaliar essas derivadas e a própria função no ponto (0,1) e, por fim, montar o plano tangente ao gráfico de f em (0,1,f(0,1)). Vamos usar regra da cadeia para as derivadas e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Para organizar a derivação, definimos
r=raizx^2+y^2, h=x+r,
e, portanto, f=ln(h). Aplicando a regra da cadeia para fx:
fx=1hpartial hpartial x = 1hl(1+xrr) =r+xr(x+r)=1r

Passo 3

De modo análogo, para fy usamos a mesma definição de h e obtemos:
fy=1hpartial hpartial y = 1hl(0+yrr) =yr(x+r)

Passo 4

Agora avaliamos a função e as derivadas em (0,1). Aqui r(0,1)=raiz0^2+1^2=1 e h(0,1)=0+1=1. Logo:
f(0,1)=ln(1)=0, fx(0,1)=11=1, fy(0,1)=11cdot1=1

Passo 5

Para montar o plano tangente em (a,b)=(0,1), usamos a fórmula:
z = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)
Substituindo os valores encontrados:
z = 0 + 1,(x-0) + 1,(y-1) = x + y - 1

Resposta

As derivadas parciais são
fx(x,y)=1raizx^2+y^2, fy(x,y)=yraizx^2+y^2l(x+raizx^2+y^2r)
Os valores em (0,1) são
f(0,1)=0, fx(0,1)=1, fy(0,1)=1
A equação do plano tangente é
z = x + y - 1

Exercícios relacionados