Dada a função
, faça seu mapa de contorno mostrando várias curv de nível. (Pelo menos para cinco valores da constante, ou cinco níveis)
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y) = (1 − x²)(1 − y²). O conteúdo é curvas de nível de uma função de duas variáveis e vamos precisar da definição implícita f(x,y) = c e do raciocínio sobre domínio e forma de cada curva.
Passo 2
Para traçar as curvas de nível fixamos f(x,y) = c. Assim
Passo 3
Passo 4
é a equação implícita de cada curva de nível associada ao valor c.
Passo 5
Isolando y em função de x para entender o formato das curvas, partimos de
Passo 6
Passo 7
logo
Passo 8
Passo 9
e portanto
Passo 10
Passo 11
Isso mostra que cada curva é simétrica em torno dos eixos x e y e só existe onde o radicando é não-negativo.
Passo 12
Escolhemos cinco valores de c para visualizar padrões distintos:
Passo 13
c₁ = 1 (máximo em (0,0)), c₂ = 0.5 (laços fechados), c₃ = 0 (retas x=±1 e y=±1), c₄ = -0.5 (ramos abertos), c₅ = -1 (ramos mais afastados).
Passo 14
Para cada c>0 as curvas são laços fechados em torno da origem, que vão de x=−√(1−c) até x=+√(1−c). Em c=0 aparecem as retas verticais e horizontais x=±1, y=±1. Para c<0 formam-se quatro ramos abertos que se aproximam de x=±1 ou y=±1 como assíntotas.
Passo 15
O esboço do mapa de contorno fica com cinco curvas simétricas: dois laços fechados (c=1 e c=0.5) centrados na origem, o quadrado de retas no nível c=0 e dois pares de ramos abertos para c=−0.5 e c=−1, sempre simétricos nos eixos.
Passo 16
Segue um esquema simplificado (eixo x horizontal, y vertical):
y
^ • c=−1 (ramos bem abertos)
2.0 | • c=−0.5 (ramos abertos)
|
1.0 | ┌──────┐ • c=0 (x=±1,y=±1)
| │ │
0.5 | ◯◯◯◯◯ • c=0.5 (laço médio)
| ◯◯◯ • c=1 (ponto na origem)
0.0 ±-----------------------> x
|
|
1.0 | ┌──────┐ • c=0 (x=±1,y=±1)
| │ │
0.5 | ◯◯◯◯◯ • c=0.5 (laço médio)
| ◯◯◯ • c=1 (ponto na origem)
0.0 ±-----------------------> x
|
Resposta
O mapa de contorno é formado pelas curvas implícitas
(1 − x²)(1 − y²) = 1, 0.5, 0, −0.5, −1
enquanto vemos:
- c=1 reduz-se a um ponto na origem,
- c=0.5 e c=1 são laços fechados simétricos,
- c=0 são as retas x=±1 e y=±1,
- c<0 produzem quatro ramos abertos aproximando-se de x=±1 ou y=±1 como assíntotas.