Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos e , as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem.
Passo 1
E aí, pessoal! O exercício pede pra gente esboçar o gráfico da função f(x)=l|(x-4)^3-1r|.
É sobre transformações de funções (cúbica x^3), deslocamentos e valor absoluto. Temos que indicar:
Interseções com os eixos x e y.
Onde a função é positiva ou negativa.
Onde ela cresce ou decresce.
Se existem máximos ou mínimos locais.
Pra isso, vamos precisar lembrar:
• O gráfico de y=x^3.
• Como deslocar no eixo x e y.
• Como o valor absoluto reflete partes negativas.
Monotonicidade (derivadas por pedaço):
• Se x<5, f(x)=-u(x)=1-(x-4)^3.
f'(x)=-u'(x)=-3(x-4)^2<=0
→ decrescente em (-infty,5).
• Se x>5, f(x)=u(x)=(x-4)^3-1.
f'(x)=3(x-4)^2>=0
→ crescente em (5,infty).
Passo 6
Extremos locais:
Em x=5, troca decrescente→crescente e f(5)=0 → mínimo local em (5,0).
Não há máximo local finito (vai a +infty nas duas pontas).
Resposta
• Interseções:
– Eixo x: (5,0)
– Eixo y: (0,65)
• Sinal:
– f(x)>=0 para todo x
– f(x)=0 só em x=5
• Monotonicidade:
– Decrescente em (-infty,5)
– Crescente em (5,infty)
• Extremos:
– Mínimo local em (5,0)
– Sem máximo local finito