Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos x e y, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem.
|(x-4)^3-1|

Passo 1

E aí, pessoal! O exercício pede pra gente esboçar o gráfico da função
f(x)=l|(x-4)^3-1r|.
É sobre transformações de funções (cúbica x^3), deslocamentos e valor absoluto. Temos que indicar:
  • Interseções com os eixos x e y.
  • Onde a função é positiva ou negativa.
  • Onde ela cresce ou decresce.
  • Se existem máximos ou mínimos locais.
Pra isso, vamos precisar lembrar:
• O gráfico de y=x^3.
• Como deslocar no eixo x e y.
• Como o valor absoluto reflete partes negativas.

Passo 2

Transformações passo a passo:
  1. Função base: g(x)=x^3.
  2. Deslocar 4 para a direita: h(x)=(x-4)^3.
  3. Descer 1: u(x)=(x-4)^3-1.
  4. Aplicar valor absoluto:
f(x)=|u(x)|=l|(x-4)^3-1r|

Passo 3

Acha onde u(x)=0, pois aí muda o sinal:
(x-4)^3-1=0 ;Longrightarrow; (x-4)^3=1 ;Longrightarrow; x=5
Logo, a interseção com o eixo x é (5,0).
Para o eixo y, ponha x=0:
u(0)=(0-4)^3-1=-65 ;Longrightarrow; f(0)=|-65|=65,
interseção em (0,65).

Passo 4

Sinal de u(x)=(x-4)^3-1:
  • Para x<5, u(x)<0 f(x) reflete.
  • Para x>5, u(x)>0 f(x) mantém.
    Assim:
  • f(x)>=0 em todo lugar.
  • f(x)=0 só em x=5.
  • f(x)>0 em (-infty,5)cup(5,infty).

Passo 5

Monotonicidade (derivadas por pedaço):
• Se x<5, f(x)=-u(x)=1-(x-4)^3.
f'(x)=-u'(x)=-3(x-4)^2<=0
decrescente em (-infty,5).
• Se x>5, f(x)=u(x)=(x-4)^3-1.
f'(x)=3(x-4)^2>=0
crescente em (5,infty).

Passo 6

Extremos locais:
  • Em x=5, troca decrescente→crescente e f(5)=0mínimo local em (5,0).
  • Não há máximo local finito (vai a +infty nas duas pontas).

Resposta

• Interseções:
– Eixo x: (5,0)
– Eixo y: (0,65)
• Sinal:
f(x)>=0 para todo x
f(x)=0 só em x=5
• Monotonicidade:
– Decrescente em (-infty,5)
– Crescente em (5,infty)
• Extremos:
– Mínimo local em (5,0)
– Sem máximo local finito

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