Verificar que cada uma das funções dadas y=f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
d^2 yd x^2-y+x^2=2 ; y=e^-x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y = e^-x + x^2 satisfaz a equação diferencial
d^2 ydx^2 - y + x^2 = 2
Para isso, vamos precisar calcular dydx e d^2ydx^2 usando as regras de derivação de exponencial e de polinômio.

Passo 2

Calcular a primeira derivada. Derivando
y = e^-x + x^2
em relação a x, obtemos
y' = dydx = -,e^-x + 2x

Passo 3

Calcular a segunda derivada. Derivando
y' = -,e^-x + 2x
em relação a x, obtemos
y'' = d^2ydx^2 = e^-x + 2

Passo 4

Substituir y e y'' na expressão ;y'' - y + x^2:
y'' - y + x^2 = l(e^-x + 2r) - l(e^-x + x^2r) + x^2 = e^-x + 2 - e^-x - x^2 + x^2 = 2

Passo 5

Como a substituição deu exatamente 2, concluímos que a função proposta satisfaz a equação diferencial original.

Resposta

A função y = e^-x + x^2 é solução de d^2ydx^2 - y + x^2 = 2, pois ao substituir obtemos 2=2.

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