Escreva o domínio das funções a seguir e faça um esboco.
f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}}+\frac{2}{\sqrt{9-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f abaixo:
f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}}+\frac{2}{\sqrt{9-y^{2}}}
  • Escrever o domínio de f (ou seja, todos os pares (x,y) em que f(x,y) está bem definida).
  • Fazer um esboço (uma descrição/representação do conjunto no plano (x,y)).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função contém uma raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}}.
  • A função contém outra raiz quadrada \sqrt{9-y^{2}} no denominador de uma fração.

Passo 2

Condição trazida por \sqrt{4-x^{2}}.
Para que uma raiz quadrada real esteja definida precisamos que o radicando seja não negativo. Assim exigimos
4-x^{2}\ge 0.
Resolver essa desigualdade:
4-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 4.
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando o valor absoluto),
|x|\le 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -2\le x\le 2.
Observação importante: os extremos x=-2 e x=2 são permitidos porque \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{0}=0 é bem definido.

Passo 3

Condição trazida por \dfrac{2}{\sqrt{9-y^{2}}}.
Temos duas coisas a checar:
  1. O radicando precisa ser não negativo para a raiz existir: 9-y^{2}\ge 0.
  2. Além disso, a raiz está no denominador, logo não podemos ter denominador zero: \sqrt{9-y^{2}}\neq 0. Isso implica 9-y^{2}>0.
Unindo as duas: precisamos de
9-y^{2}>0.
Resolver:
9-y^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}<9\quad\Longleftrightarrow\quad -3<y<3.
Portanto os extremos y=\pm 3 são proibidos (pois anulam o denominador).

Passo 4

Combinação das duas condições
As condições nas variáveis x e y são independentes entre si (não há relação mista x com y no mesmo radicando), então o domínio é o produto cartesiano dos intervalos permitidos para x e para y. Assim
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le x\le 2,\\\ -3<y<3\}.
Em notação de produto de intervalos:
D=[-2,2]\times(-3,3).

Passo 5

Interpretação geométrica e comportamento nas fronteiras
  • Geometricamente, D é um retângulo no plano xy com largura em x de -2 a 2 (essas bordas verticais são incluídas) e altura em y de -3 a 3 (essas bordas horizontais são excluídas). Ou seja, as arestas verticais são fechadas e as horizontais são abertas.
  • Por que essa diferença? Porque em x=\pm 2 o primeiro termo fica \sqrt{0}=0 (permitido), enquanto em y=\pm 3 o segundo termo tem denominador \sqrt{0}=0 (proibido).

Passo 6

Esboço (representação simples no plano)
Descrição do esboço: retângulo centrado na origem com cantos em ( -2,-3), (2,-3), (2,3) e (-2,3). As arestas verticais x=-2 e x=2 são partes do domínio (traço sólido). As arestas horizontais y=-3 e y=3 não pertencem ao domínio (traço pontilhado/ouvert).
Pequeno desenho ASCII (apenas indicativo):
      y
      ↑
 3  . - - - - - - - - - - .    (y=3, não incluída)
    |                   |
    |                   |
    |                   |
 0  |       D =         |
    |   [−2,2]×(−3,3)   |
    |                   |
    |                   |
-3  . - - - - - - - - - - .    (y=-3, não incluída)
     ←−2         0         2→  x
Marcação de pontos exemplo:
  • (0,0) pertence a D.
  • (2,0) pertence a D.
  • (0,3) não pertence a D.
  • (3,0) não pertence a D.

Resposta

[ -2,2 ] \times ( -3,3 )

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