Escreva o domínio das funções a seguir e faça um esboco.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
abaixo:
- Escrever o domínio de
(ou seja, todos os pares em que está bem definida). - Fazer um esboço (uma descrição/representação do conjunto no plano
).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função contém uma raiz quadrada
. - A função contém outra raiz quadrada
no denominador de uma fração.
Passo 2
Condição trazida por
.
Para que uma raiz quadrada real esteja definida precisamos que o radicando seja não negativo. Assim exigimos
Resolver essa desigualdade:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando o valor absoluto),
Observação importante: os extremos
e
são permitidos porque
é bem definido.
Passo 3
Condição trazida por
.
Temos duas coisas a checar:
- O radicando precisa ser não negativo para a raiz existir:
. - Além disso, a raiz está no denominador, logo não podemos ter denominador zero:
. Isso implica .
Unindo as duas: precisamos de
Resolver:
Portanto os extremos
são proibidos (pois anulam o denominador).
Passo 4
Combinação das duas condições
As condições nas variáveis
e
são independentes entre si (não há relação mista
com
no mesmo radicando), então o domínio é o produto cartesiano dos intervalos permitidos para
e para
. Assim
Em notação de produto de intervalos:
Passo 5
Interpretação geométrica e comportamento nas fronteiras
-
Geometricamente,
é um retângulo no plano com largura em de a (essas bordas verticais são incluídas) e altura em de a (essas bordas horizontais são excluídas). Ou seja, as arestas verticais são fechadas e as horizontais são abertas. -
Por que essa diferença? Porque em
o primeiro termo fica (permitido), enquanto em o segundo termo tem denominador (proibido).
Passo 6
Esboço (representação simples no plano)
Descrição do esboço: retângulo centrado na origem com cantos em
,
,
e
. As arestas verticais
e
são partes do domínio (traço sólido). As arestas horizontais
e
não pertencem ao domínio (traço pontilhado/ouvert).
Pequeno desenho ASCII (apenas indicativo):
y
↑
3 . - - - - - - - - - - . (y=3, não incluída)
| |
| |
| |
0 | D = |
| [−2,2]×(−3,3) |
| |
| |
-3 . - - - - - - - - - - . (y=-3, não incluída)
←−2 0 2→ x
Marcação de pontos exemplo:
-
pertence a . -
pertence a . -
não pertence a . -
não pertence a .