Esboçar o gráfico das funçōes:
f(x, y)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y) = -\sqrt{x^2 + y^2}.
O conteúdo aqui é estudo de superfícies radiais em \mathbb{R}^3. Para esboçar, vamos explorar domínio e simetria, curvas de nível e perfil em planos coordenados, e depois visualizar a superfície por revolução.

Passo 2

O domínio de f é todo o plano \mathbb{R}^2, pois a expressão \sqrt{x^2+y^2} está bem definida para qualquer (x,y). Note que o valor de f é sempre não–positivo, isto é,
f(x,y)\le 0
para todo (x,y), e a maior altura ocorre em (0,0) com f(0,0)=0.

Passo 3

As curvas de nível são dadas por
f(x,y) = c \quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{x^2+y^2} = c \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^2+y^2} = -c.
Elas existem apenas para c\le0 e formam círculos de raio -c. Ou seja, para cada c\le0, a curva de nível é
\{(x,y)\mid x^2+y^2 = (-c)^2\}.

Passo 4

Para entender o perfil em 3D, fixe y=0. Então
f(x,0) = -\sqrt{x^2} = -|x|.
No plano xz, isso dá duas retas que se encontram na origem: uma de equação z=-x para x\ge0 e outra z=+x com sinal invertido se x\le0. Analogamente no plano yz. Esse perfil em forma de “V” indica que a superfície é um cone.

Passo 5

Como f só depende de r=\sqrt{x^2+y^2}, a superfície é obtida girando o perfil z=-r em torno do eixo z. O vértice do cone fica em (0,0,0) e ele se abre para baixo com inclinação 45^\circ em todas as direções radiais.

Resposta

O gráfico de \;f(x,y)=-\sqrt{x^2+y^2}\; é um cone invertido de vértice na origem, obtido pela rotação da reta z=-r r\ge0 em torno do eixo z.

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