Dada a função f(x, y)=xy+x^2+y^2, x=r cos theta e y=r sen theta, determinar as derivadas parciais partial fpartial r e partial fpartial theta usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=xy+x^2+y^2
e as coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsentheta
Pede-se partial fpartial r e partial fpartial theta usando a regra da cadeia. Precisamos calcular as derivadas parciais fx e fy e também partial x/partial r,;partial y/partial r,;partial x/partial theta,;partial y/partial theta.

Passo 2

Calculamos primeiro
fx = partialpartial xl(xy+x^2+y^2r) =1y+2x,
fy = partialpartial yl(xy+x^2+y^2r) =-xy^2+2y

Passo 3

Derivadas de x,y em relação a r:
partial xpartial r=costheta, partial ypartial r=sentheta
Pela regra da cadeia
partial fpartial r =fxpartial xpartial r+fypartial ypartial r =l(1y+2xr)costheta +l(-xy^2+2yr)sentheta
Substituindo x=rcostheta e y=rsentheta e agrupando termos,
partial fpartial r =costhetarsentheta+2rcos^2theta -costhetarsentheta+2rsen^2theta =2rl(cos^2theta+sen^2thetar) =2r

Passo 4

Derivadas de x,y em relação a theta:
partial xpartial theta=-rsentheta, partial ypartial theta=rcostheta
Pela regra da cadeia
partial fpartial theta =fxpartial xpartial theta+fypartial ypartial theta =l(1y+2xr)(-rsentheta) +l(-xy^2+2yr)(rcostheta)
Substituindo x=rcostheta e y=rsentheta e simplificando,
partial fpartial theta =-1 -2r^2costhetasentheta -cos^2thetasen^2theta +2r^2senthetacostheta =-1-cot^2theta =-csc^2theta

Resposta

partial fpartial r=2r, partial fpartial theta=-csc^2theta

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