Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=1x-2
lim x infty f(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=1x-2
e pede o limite quando x to infty. O conteúdo aqui é “limite no infinito” de uma função racional, e vamos usar a definição: dizemos que limxtoinftyf(x)=L se, para todo epsilon>0, existe M>0 tal que x>M implica lvert f(x)-Lrvert<epsilon.

Passo 2

Intuitivamente, quando x cresce muito, o denominador x-2 também cresce sem limite, de modo que tfrac1x-2 fica cada vez mais próximo de zero. Isso sugere que
limxtoinfty1x-2=0

Passo 3

Agora, vamos justificar de forma rigorosa usando a definição:
Seja epsilon>0. Queremos x grande o suficiente para garantir
llvert f(x)-0rrvert =1lvert x-2rvert <epsilon
Para x>!2 temos lvert x-2rvert = x-2, então basta exigir
1x-2<epsilon Long<=ftrightarrow x-2>1epsilon Long<=ftrightarrow x>2+1epsilon
Logo, escolhendo
M = 2 + 1epsilon,
temos que, para todo x>M, vale lvert f(x)-0rvert<epsilon. Assim, por definição,
limxtoinfty1x-2=0

Resposta

0

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