Dada a função
f(x, y, z)=x z+x y+y z, onde l x=u v y=v^2 z=ln (u v)
use a regra da cadeia para calcular:
a) (0,5) fu (Escreva essa derivada, em função de u e v ),
b) (1,0). fu u
c) (0 , 5) fv (Escreva essa derivada, em função de u e v ),
d) (1,0). fv v
e) (1,0) fu v

Passo 1

Vamos resumir: temos a função f(x,y,z)=xz+xy+yz com as variáveis substituídas por x=uv, y=v^2 e z=ln(uv). O conteúdo é Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais fx,fy,fz e dos jacobianos de (x,y,z) em relação a (u,v).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f em relação a x,y,z:
fx=partialpartial x(xz+xy+yz)=z+y,
fy=x+z,
fz=x+y
E agora as derivadas de x,y,z em relação a u:
xu=v,
yu=0,
zu=partialpartial ul(ln(uv)r)=1uv,v=1u
Por Regra da Cadeia:
fu=fx,xu+fy,yu+fz,zu=(z+y)v+(x+y)1u
Substituindo x=uv, y=v^2, z=ln(uv) obtemos
fu(u,v)=vl(ln(uv)+v^2r)+uv+v^2u=vln(uv)+v^3+v+v^2u

Passo 3

Agora derivamos fu em relação a u para encontrar fuu:
fuu=partialpartial ul(vln(uv)+v^3+v+v^2ur)= v u-v^2u^2
Avaliando em (u,v)=(1,0) temos
fuu(1,0)=01-0^21^2=0

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para fv. As derivadas de x,y,z em relação a v são:
xv=u,
yv=2v,
zv=1uv,u=1v
Assim
fv=fx,xv+fy,yv+fz,zv=(z+y)u+(x+z)2v+(x+y)1v
Substituindo de novo x,y,z chegamos a
fv(u,v)=uln(uv)+u v^2+2vl(uv+ln(uv)r)+u+v=(u+2v)ln(uv)+3u v^2+u+v

Passo 5

Por fim, calculamos fvv e fuv. Derivando fv em v:
fvv=2ln(uv)+uv+6uv+3
Derivando fu em v:
fuv=ln(uv)+3v^2+2vu+2
Avaliando em (1,0) notamos que aparecem termos como ln(0) e 1/v, que não são definidos para v=0. Portanto, fvv(1,0) e fuv(1,0) não existem.

Passo 6

Para resumir cada item:

Passo 7

a) Derivada fu(u,v)=vln(uv)+v^3+v+dfracv^2u (expressão em função de u,v).

Passo 8

b) fuu(1,0)=0.

Passo 9

c) Derivada fv(u,v)=(u+2v)ln(uv)+3u v^2+u+v (expressão em função de u,v).

Passo 10

d) fvv(1,0) não existe.

Passo 11

e) fuv(1,0) não existe.

Resposta

a) fu(u,v)=vln(uv)+v^3+v+dfracv^2u
b) fuu(1,0)=0
c) fv(u,v)=(u+2v)ln(uv)+3u v^2+u+v
d) fvv(1,0) não existe
e) fuv(1,0) não existe

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