Seja g: R^2 R a função definida por g(x, y)=f(y^3-x^3, x^3-y^3), onde f: R^2 R é uma função diferenciável tal que nabla f(1,-1)=(0,3).
a) (1, 0). Calcule g^prime(0,1)(x, y), (Sugestão: Faça u=y^3-x^3 e v=x^3-y^3 )
b) (0,5). Mostre que y^2 partial gpartial x(x, y)+x^2 partial gpartial y(x, y)=0, para todo (x, y) in R^2

Passo 1

O enunciado define g: ℝ²→ℝ por composição de f com as funções u(x,y)=y³−x³ e v(x,y)=x³−y³, sendo f diferenciável e com ∇f(1,−1)=(0,3). Na parte (a) precisamos calcular a aplicação linear g′(0,1) em um vetor genérico (h,k). Na parte (b) mostramos que para todo (x,y) vale y² gₓ(x,y)+x² gᵧ(x,y)=0.

Passo 2

Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de g são dadas por f₁=∂f/∂u e f₂=∂f/∂v avaliadas em (u,v). Assim temos:inline formulas removed per instructions. Reescrevendo:

Passo 3

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Resposta

a) g′(0,1)(h,k)=−9k, ou seja, g′(0,1)(x,y)=−9y b) De fato, substituindo gₓ=−3x² f₁+3x² f₂ e gᵧ=3y² f₁−3y² f₂, obtemos y²gₓ+x²gᵧ=0 para todo (x,y).

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