Seja
a função definida por
, onde
é uma função diferenciável tal que
.
a)
. Calcule
(Sugestão: Faça
e
)
b)
. Mostre que
, para todo
a)
b)
Passo 1
O enunciado define g: ℝ²→ℝ por composição de f com as funções u(x,y)=y³−x³ e v(x,y)=x³−y³, sendo f diferenciável e com ∇f(1,−1)=(0,3). Na parte (a) precisamos calcular a aplicação linear g′(0,1) em um vetor genérico (h,k). Na parte (b) mostramos que para todo (x,y) vale y² gₓ(x,y)+x² gᵧ(x,y)=0.
Passo 2
Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de g são dadas por f₁=∂f/∂u e f₂=∂f/∂v avaliadas em (u,v). Assim temos:inline formulas removed per instructions. Reescrevendo:
Passo 3
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Resposta
a) g′(0,1)(h,k)=−9k, ou seja, g′(0,1)(x,y)=−9y b) De fato, substituindo gₓ=−3x² f₁+3x² f₂ e gᵧ=3y² f₁−3y² f₂, obtemos y²gₓ+x²gᵧ=0 para todo (x,y).