Prove que (cos z)^prime=-sen z para todo z em C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, como função inteira em C, a derivada de cos z é -sin z. Vamos usar a definição de cos z e sin z via exponencial complexa e a propriedade de que a função exponencial é inteira com derivada igual a si mesma.

Passo 2

Lembramos as identidades de Euler para as funções trigonométricas complexas:
cos z = e^iz + e^-iz2, sin z = e^iz - e^-iz2i
Sabemos que e^w é inteira e que
l(e^wr)' = e^w
para todo winC.

Passo 3

Diferenciando cos z em relação a z, usando derivada de soma e constante:
(cos z)' = 12l((e^iz)' + (e^-iz)'r) = 12l(i,e^iz + (-i),e^-izr) = i,e^iz - i,e^-iz2

Passo 4

Reescrevendo esse resultado em função de sin z:
i,e^iz - i,e^-iz2 = i;e^iz - e^-iz2 = -,e^iz - e^-iz2i = -,sin z
Portanto concluímos que
(cos z)' = -sin z,
valendo para todo zinC.

Resposta

(cos z)' = -sin z

Exercícios relacionados