Prove que
para todo
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, como função inteira em
, a derivada de
é
. Vamos usar a definição de
e
via exponencial complexa e a propriedade de que a função exponencial é inteira com derivada igual a si mesma.
Passo 2
Lembramos as identidades de Euler para as funções trigonométricas complexas:
Sabemos que
é inteira e que
para todo
.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
, usando derivada de soma e constante:
Passo 4
Reescrevendo esse resultado em função de
:
Portanto concluímos que
valendo para todo
.