Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar quais das funções a seguir são analíticas, e em qual domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é analítica, isto é, se satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em alguma região de
. Quando for analítica, precisamos também calcular
, sabendo que
quando as equações de Cauchy–Riemann valem.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Logo separamos a parte real e imaginária:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
.
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Comparando, vemos
desde que
. Logo as equações valem exatamente em
.
Passo 5
Como
e
têm derivadas contínuas em todo ponto de
e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, concluímos que
é analítica em
Passo 6
Para calcular
, usamos
Dos valores que encontramos,
Mas
, então
Resposta
A função
é analítica em
e