Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar quais das funções a seguir são analíticas, e em qual domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por partial fpartial x )
w=1 / z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(z)=1z
é analítica, isto é, se satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em alguma região de C. Quando for analítica, precisamos também calcular f'(z), sabendo que
f'(z)=partial fpartial x
quando as equações de Cauchy–Riemann valem.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
f(z)=1z=1x+iy=x-iyx^2+y^2
Logo separamos a parte real e imaginária:
u(x,y)=xx^2+y^2, v(x,y)=-yx^2+y^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v.
ux=(x^2+y^2)-x(2x)(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
uy=-x(2y)(x^2+y^2)^2 =-2xy(x^2+y^2)^2,
vx=-0cdot(x^2+y^2)-(-y),2x(x^2+y^2)^2 =2xy(x^2+y^2)^2,
vy=-(x^2+y^2)-y(2y)(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
ux=vy, uy=-vx
Comparando, vemos
ux=y^2-x^2(x^2+y^2)^2=vy, uy=-2xy(x^2+y^2)^2 =-vx,
desde que x^2+y^2neq0. Logo as equações valem exatamente em Csetminus0.

Passo 5

Como u e v têm derivadas contínuas em todo ponto de Csetminus0 e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, concluímos que f(z)=1/z é analítica em
Csetminus0

Passo 6

Para calcular f'(z), usamos
f'(z)=ux + i,vx
Dos valores que encontramos,
ux+i,vx =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 +i2xy(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2+2ixy(x^2+y^2)^2 =-x^2- y^2 -2ixy(x^2+y^2)^2 =-(x+iy)^2(x^2+y^2)^2
Mas (x+iy)^2/(x^2+y^2)^2=1/z^2, então
f'(z)=-1z^2

Resposta

A função f(z)=1/z é analítica em Csetminus0 e
f'(z)=-1z^2

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