Dada a função alpha(t)=(a cosh t, b senh t)=(x, y)
i) Mostre que a imagem de alpha está contida numa hipérbole;
ii) Mostre que os vetores P=(yb^2, xa^2) e Q=(xa^2,-yb^2) são tangente e normal, respectivamente, à curva alpha em cada ponto ( x, y ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e envolve matemática que trata de funções paramétricas e geometria analítica, especificamente hipérboles. No primeiro item, precisamos mostrar que a imagem da função está numa hipérbole. No segundo, vamos provar que certos vetores são tangentes e normais à curva definida pela função. Para isso, vamos usar conceitos como identidade hiperbólica e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (i): mostrar que a imagem de alpha(t) = (a cosh t, b senh t) está contida numa hipérbole.
Sabemos que a função cosh t e senh t são funções hiperbólicas que satisfazem a identidade:
cosh^2 t - senh^2 t = 1
Vamos usar essa identidade para relacionar x e y da função alpha(t).
Substituindo x = a cosh t e y = b senh t na identidade, temos:
(xa)^2 - (yb)^2 = cosh^2 t - senh^2 t = 1
Multiplicando ambos os lados por a^2 b^2 para simplificar, obtemos:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com eixo real.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (ii): mostrar que os vetores P = (yb^2, xa^2) e Q = (xa^2, -yb^2) são tangente e normal à curva alpha em cada ponto (x, y).
Primeiro, precisamos entender o que significa que um vetor seja tangente ou normal à curva. O vetor tangente indica a direção da curva naquele ponto, enquanto o vetor normal é perpendicular a esse vetor tangente.
Para encontrar o vetor tangente, vamos derivar a função alpha(t) em relação a t:
alpha'(t) = (dxdt, dydt) = (a senh t, b cosh t)
Agora, queremos expressar esse vetor em termos de x e y. Sabemos que x = a cosh t e y = b senh t, então podemos escrever:
alpha'(t) = (yb, xa)
Para encontrar a direção, podemos simplificar o vetor tangente:
alpha'(t) = (yb, xa) = (yb^2 cdot b, xa^2 cdot a) = (yb^2, xa^2) cdot (b, a)
Isso mostra que o vetor P = (yb^2, xa^2) está na direção do vetor tangente alpha'(t), portanto, P é um vetor tangente à curva.
Para o vetor normal, sabemos que ele deve ser perpendicular ao vetor tangente. Portanto, podemos verificar isso calculando o produto escalar entre P e Q:
P cdot Q = (yb^2)(xa^2) + (xa^2)(-yb^2) = xya^2b^2 - xya^2b^2 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, ou seja, Q = (xa^2, -yb^2) é um vetor normal à curva.

Resposta

Mostramos que a imagem de alpha(t) está numa hipérbole dada por x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e que os vetores P = (yb^2, xa^2) e Q = (xa^2, -yb^2) são, respectivamente, tangente e normal à curva alpha em cada ponto (x, y).

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