Dada a função
i) Mostre que a imagem de
está contida numa hipérbole;
ii) Mostre que os vetores
e
são tangente e normal, respectivamente, à curva
em cada ponto (
).
i) Mostre que a imagem de
ii) Mostre que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e envolve matemática que trata de funções paramétricas e geometria analítica, especificamente hipérboles. No primeiro item, precisamos mostrar que a imagem da função está numa hipérbole. No segundo, vamos provar que certos vetores são tangentes e normais à curva definida pela função. Para isso, vamos usar conceitos como identidade hiperbólica e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (i): mostrar que a imagem de
está contida numa hipérbole.
Sabemos que a função
e
são funções hiperbólicas que satisfazem a identidade:
Vamos usar essa identidade para relacionar
e
da função
.
Substituindo
e
na identidade, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar, obtemos:
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com eixo real.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (ii): mostrar que os vetores
e
são tangente e normal à curva
em cada ponto
.
Primeiro, precisamos entender o que significa que um vetor seja tangente ou normal à curva. O vetor tangente indica a direção da curva naquele ponto, enquanto o vetor normal é perpendicular a esse vetor tangente.
Para encontrar o vetor tangente, vamos derivar a função
em relação a
:
Agora, queremos expressar esse vetor em termos de
e
. Sabemos que
e
, então podemos escrever:
Para encontrar a direção, podemos simplificar o vetor tangente:
Isso mostra que o vetor
está na direção do vetor tangente
, portanto,
é um vetor tangente à curva.
Para o vetor normal, sabemos que ele deve ser perpendicular ao vetor tangente. Portanto, podemos verificar isso calculando o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, ou seja,
é um vetor normal à curva.
Resposta
Mostramos que a imagem de
está numa hipérbole dada por
e que os vetores
e
são, respectivamente, tangente e normal à curva
em cada ponto
.