Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n} \frac{e^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty(-1)^ne^nn
é convergente e, se possível, encontrar sua soma.
O conteúdo aqui é séries numéricas; vamos usar primeiro a condição necessária de convergência (termo geral to 0) e depois o teste da razão para concluir sobre a convergência.

Passo 2

Para qualquer série sum an, é necessário que
limntoinftyan = 0
para que haja convergência. Aqui
an = (-1)^n,e^nn,
logo em módulo
|an| = e^nn
Como e^n/ntoinfty quando ntoinfty, temos
limntoinftyanneq 0,
então a série diverge imediatamente pela condição do termo geral.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da razão em módulo:
|an+1an| = e^n+1/(n+1)e^n/n = e;nn+1 ;xrightarrow[ntoinfty];e>1
Como o limite da razão é maior que 1, o teste da razão também garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge, logo não possui soma.

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