Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{3}{(n+2)(n+4)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 3(n+2)(n+4)
e, se ela convergir, encontrar o valor de sua soma. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e soma telescópica de séries.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais da fração geral:
3(n+2)(n+4) = An+2 + Bn+4
Multiplicando em cruz,
3 = A(n+4) + B(n+2)
Aplicando n=-2 e n=-4 para achar A e B:
n=-2: 3 = Acdot2 ;Rightarrow; A=32,
n=-4: 3 = Bcdot(-2) ;Rightarrow; B=-32

Passo 3

Portanto
3(n+2)(n+4) = 32,l(1n+2 - 1n+4r)
A série fica
sumn=1^infty 3(n+2)(n+4) = 32sumn=1^infty l(1n+2 - 1n+4r),
que é telescópica.

Passo 4

Calculemos a soma parcial SN:
SN = 32sumn=1^Nl(1n+2 - 1n+4r)
Escrevendo explicitamente parte dos termos positivos e negativos, observa-se o cancelamento intermediário, sobrando
sumn=1^N1n+2 = 13 + 14 + dots + 1N+2, sumn=1^N1n+4 = 15 + 16 + dots + 1N+4
Cancelam-se de tfrac15 até tfrac1N+2, restando
SN = 32l(tfrac13 + tfrac14 - l(tfrac1N+3 + tfrac1N+4r)r)

Passo 5

Avaliaremos o limite de SN quando Ntoinfty. Note que
tfrac1N+3 + tfrac1N+4 ;xrightarrow[Ntoinfty]; 0,
e que
tfrac13 + tfrac14 = 4+312 = 712
Logo
limNtoinftySN = 32cdot712 = 78

Resposta

A série é convergente e sua soma é 78.

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