Seja
.
Prove que
tem vetor velocidade unitário;
Prove que
Passo 1
O enunciado dá a curva em
e pede para mostrar que ela é parametrizada por arco–distância, ou seja, que o vetor velocidade
tem norma unitária:
. Para isso, vamos calcular cada derivada componente a componente e verificar que a soma dos quadrados é
.
Passo 2
Calculamos
componente a componente.
Para a primeira coordenada,
Para a primeira coordenada,
Para a segunda coordenada,
Para a terceira coordenada,
Passo 3
Agora usamos que a norma ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes de
:
Isto é
Logo
para todo
.
Resposta
A curva
tem vetor velocidade de norma unitária, ou seja, é parametrizada por arco–distância.