Seja beta(s)=((1+s)^3 / 23, (1-s)^3 / 23, sraiz2) ;-1<s<1.
Prove que beta tem vetor velocidade unitário;

Passo 1

O enunciado dá a curva em R^3
beta(s)=l(tfrac(1+s)^3/23,;tfrac(1-s)^3/23,;tfracsraiz2r), -1<s<1,
e pede para mostrar que ela é parametrizada por arco–distância, ou seja, que o vetor velocidade beta'(s) tem norma unitária: |beta'(s)|=1. Para isso, vamos calcular cada derivada componente a componente e verificar que a soma dos quadrados é 1.

Passo 2

Calculamos beta'(s) componente a componente.
Para a primeira coordenada,
beta1(s)=(1+s)^3/23 Longrightarrow beta1'(s) =13cdot32(1+s)^1/2 =12(1+s)^1/2
Para a segunda coordenada,
beta2(s)=(1-s)^3/23 Longrightarrow beta2'(s) =13cdot32(1-s)^1/2cdot(-1) =-tfrac12(1-s)^1/2
Para a terceira coordenada,
beta3(s)=sraiz2 Longrightarrow beta3'(s)=1raiz2

Passo 3

Agora usamos que a norma ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes de beta'(s):
|beta'(s)|^2 =l(tfrac12(1+s)^1/2r)^2 +l(-tfrac12(1-s)^1/2r)^2 +l(tfrac1raiz2r)^2
Isto é
|beta'(s)|^2 =tfrac14(1+s)+tfrac14(1-s)+tfrac12 =tfrac14l((1+s)+(1-s)r)+tfrac12 =tfrac14cdot2+tfrac12 =tfrac12+tfrac12 =1
Logo |beta'(s)|=1 para todo sin(-1,1).

Resposta

A curva beta(s) tem vetor velocidade de norma unitária, ou seja, é parametrizada por arco–distância.

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